总结与归纳之数据结构

（开一个大坑）

前言

数据结构，顾名思义，是用来高效维护数据的工具，数据之间的内在联系只有在合适数据结构下才能得到高效的处理，作为 $\text{OI}$ 界的核心，必然要有所总结与归纳。

总论

总论数据结构，便是理解什么时候要用数据结构，也就是数据结构题的特征。

第一个：元素。也就是我们要维护的信息集合中的元素，对于序列、矩阵这一类的线性结构，元素是每一位的数字及其附带的各种信息。对于树、图这一类非线性结构，元素是点和边及其附带的各种信息。

第二个：元素的集合。也就是我们要维护的信息集合，对于序列、矩阵这一类的线性结构，元素的集合是区间。对于树、图这一类非线性结构，元素的集合是子树，树链，联通分量。

第三个：操作。当然这个不是数据结构题的必要特征，但是却频繁出现。一般来说有两类，修改和查询，两者是相提并论的，要思考的问题有：修改是怎么影响查询的？查询是否具有可合并性？查询需要维护哪些信息？修改是否会破坏某些性质？

第四个：操作的拓扑序。这是针对离线算法的，将操作的集合看成一个整体，我们考虑操作之间的继承关系、传递关系，按照某一种顺序对集合排序，然后根据继承关系和传递关系，优化复杂度。具体方式有两类，一个是按某一维度排序，另一个是按某种分治的结构处理。

数据结构题和别的题型一个很大的区别是：只关注如何高效维护信息，而不关注解决问题的决策。

正文

基础数据结构

栈

队列

链表

数据哈希（这也基础？）

并查集

传统+基础变种并查集

可持久化并查集

单调栈/队列

ST 表

树状数组

线段树

传统线段树

线段树的基本思路，就是把区间当作节点的二叉树，将操作区间沿树边分解，从而在树高的对数量级下高效完成区间上的问题。所以一般的线段树复杂度为 $O(n\log n)$。

那么线段树适合什么样的题型呢？从区间信息上说：区间信息和查询结果可快速合并。例如区间和可看作左右两个子区间的区间和，区间加可看作左右两个子区间的区间加。从修改上说：修改标记可与区间信息和其他修改标记快速合并，但是如果不能在一定情况下我们有基于势能分析和期望概率分析（目前不会）下，可以保证复杂度的线段树暴力。

对于基于势能分析的区间维护，如果难以进行区间修改，但当整个区间满足某种特性时可快速剪枝，并且对于区间查询很容易，那么也可使用线段数。（但是由于这个部分目前学的不是很严谨，所以留个坑）

线段树的思考步骤如下：第一步：定义区间信息（我们要维护什么？）。第二步：定义标记（修改要留下哪些整体标记？）。第三步：定义标记的优先级（标记之间会相互影响，有一定次序）。第四步：定义区间加区间（$\text{pushup}$）。第五步：定义标记加区间和标记加标记（$\text{pushdown}$，注意第三步里的优先级）。

传统线段树的典型例子叫扫描线，是一种重要的思想，对于面积并问题和周长并问题都可以快速求解，基本思想就是假设有一条扫描线从左到右扫过，进入一个矩形扫过的边为入边，出去一个矩形扫过的边为出边，那么我们得到一个有标类型的边集，每经过一条边我们对扫描线在这条边上的权值加或减 1，区间加减操作，表示被矩形覆盖了几次，然后维护，区间被覆盖的长度，将整条扫描线被覆盖的长度乘上到下一条边的横向距离，就得到了这一段距离内所有矩形的面积并，每一段都这样处理和统计，即可得到区间并和类似的周长并。

李超线段树

李超线段树可以维护的问题是：给定 $n$ 条线段，求直线 $x=j$ 与这 $n$ 条线段的交点中纵坐标的最值(在线且动态)。这个数据结构的具体思想在解题中没有什么必要，只要知道他是用标记永久化的权值线段树来实现，并且在插入线段时比传统线段数多了一个递归下传，插入的时间复杂度是 $O({\log }^{2}n)$ 的，查询的时间复杂度是 $O(\log n)$ 的。

李超线段树的常见应用是斜率优化。具体的我们可能会得到一个式子，形如：

$$y_i=min(k_j{x}_i+b_j)+w_i$$

一种方法是用斜率优化，使求解的复杂度变为 $O(\log n)$ 的。另一种方法是看成若干条线段与直线 $x=x_i$ 的交点中的纵坐标的最值，大部分时候我们不需要传统线段树的区间拆分过程，只需要李超线段树特有的拆分过程即可，求解的复杂度降到 $O(\log n)$。

segbeats

主席树

动态开点与标记永久化

线段树分裂与合并

线段树分治

平衡树

传统平衡树

可持久化平衡树

左偏树

传统左偏树

可持久化左偏树

k-d tree

树链剖分/dsu on tree

LCT

珂朵莉树

cdq 分治

整体二分

点/边分治/树

虚树

分块

莫队

普通莫队

带修莫队

树上莫队

回滚莫队

树套树（排列组合？）

总结