【题解】N皇后问题

题目描述

相信大家都听过经典的“八皇后”问题吧？这个游戏要求在一个8×8的棋盘上放置8个皇后，使8个皇后互相不攻击（攻击的含义是有两个皇后在同一行或同一列或同一对角线上）。
桐桐对这个游戏很感兴趣，也很快解决了这个问题。可是，他想为自己增加一点难度，于是他想求出n皇后的解的情况。
你能帮助她吗？

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一行，仅有一个数n（1≤n≤14），表示为n皇后问题。

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输出仅有一个数，表示n皇后时问题的解法总数。

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8

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92
这道题用搜索可以压线过，所以就讲一讲搜索的做法
首先我们想到用二维数组做，但是二维数组肯定会超时，所以我们用降维做法，原先在棋盘上(1,1)位置有棋子，就把数组chessboard[1][1]标记为1
然后我们可以吧它改为(1,1)有棋子就把chessboard[1]标记为1，这样可以减少时间复杂度，13皇后可以压线过
然后我们再优化，用数组计数，我们发现，第i行的棋子会在第\(x+i\)条正对角线上，会在第\(x-i+n\)条反对角线上，就用数组计数，每访问一次这个对角线，就把它标记为1，即可减少超时
可是这个做法对于14皇后还需要大约两秒，我们再优化
发现这个棋盘具有对称性，以4皇后为例，举例如下
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
如果这个做法可行，那么下列做法
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
也是可行的，所以第一行只需要放到\((n+1)/2\)就可以了
至此，基本可以吧14皇后优化至1秒内
具体程序如下：

#include<cstdio>
using namespace std;
int queen[15],n,ans;
int tr1[35],tr2[35],tr3[35];
void dfs(int x)
{
    if(x>n)
    {
        ans+=2;
        return;
    }
    for(register int i=1;i<=n;++i)
    {
        if(tr1[i]==0&&tr2[x+i]==0&&tr3[x-i+n]==0)
        {
            queen[x]=i;
            tr1[i]=1;
            tr2[x+i]=1;
            tr3[x-i+n]=1;
            dfs(x+1);
            tr1[i]=0;
            tr2[x+i]=0;
            tr3[x-i+n]=0;
            queen[x]=0;
        }
    }
}
void newdfs(int x)
{
    if(x>n)
    {
        ans+=2;
        return;
    }
    for(register int i=1;i<=n/2;++i)
    {
        if(tr1[i]==0&&tr2[x+i]==0&&tr3[x-i+n]==0)
        {
            queen[x]=i;
            tr1[i]=1;
            tr2[x+i]=1;
            tr3[x-i+n]=1;
            dfs(x+1);
            tr1[i]=0;
            tr2[x+i]=0;
            tr3[x-i+n]=0;
            queen[x]=0;
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    if(n==1)
    {
        cout<<1;
        return 0;
    }
    for(register int i=1;i<=n/2;++i)
    {
        queen[1]=i;
        tr1[i]=1;
        tr2[i+1]=1;
        tr3[1-i+n]=1;
        dfs(2);
        tr1[i]=0;
        tr2[i+1]=0;
        tr3[1-i+n]=0;
    }
    if(n%2==1)
    {
        queen[1]=(n/2+1);
        tr1[(n/2+1)]=1;
        tr2[(n/2+1)+1]=1;
        tr3[1-(n/2+1)+n]=1;
        newdfs(2);
    }
    printf("%d",ans);
}

参考文献：N皇后的多种巧妙解法