二分图最大匹配和二分图最大权完美匹配

二分图最大匹配和二分图最大权完美匹配

二分图最大匹配

题目描述

对于一个二分图，求其最大匹配的边数（任意一个点只能匹配另一个点）

算法解析

使用匈牙利算法。遍历每一个左部点，若发现它所连到的右部点中有未被匹配的点就选择连接；若右部点已被匹配，就询问匹配该右部点的点能否更换至另一个点，递归执行直到发现无法更换或是可以更换就返回是否可更换。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510;
int n1, n2, m;
vector<int> g[N];
bool st[N];
int match[N];
bool find(int x) {
	for(auto it : g[x]) {
		if(!st[it]) {
			st[it] = true;
			if(!match[it] || find(match[it])) {	//递归执行
				match[it] = x;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}
int main() {
	cin >> n1 >> n2 >> m;
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		int u, v;
		cin >> u >> v;
		g[u].push_back(v);
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n1; i++) {
		memset(st, false, sizeof(st));
		if(find(i)) ans++;
	}
	cout << ans;
	return 0;
}

二分图最大权完美匹配

题目描述

在二分图最大匹配的基础上添加了边权，并要求任意一个点都必须要与另一个点匹配。

算法解析

给每一个点都设上一个期望值，$la[i]$ 代表左部点 $i$ 的期望值，$lb[i]$ 代表右部点，最后如果选了边 $e[x,y]$ ，就必须让 $e[x,y]=la[x]+lb[y]$ 。初始时将所有 $la[i]$ 设为与点 $i$ 相连的边的权值最大值，将所有的 $lb[i]$ 设为 $0$。随后遍历每个左部点跑匈牙利算法，不过需要略加修改。在我们递归寻找申请换边之前要做一个判断，判断是否满足 $e[x,y]=la[x]+lb[y]$ ，若不满足我们就要用一个 $d[i]$ 记录下想要让其它左部点可以与 $i$ 右部点满足匹配要求所需要修改的最小值，这样只需左部点加，右部点减这个 $d[i]$ 就可以多一条满足匹配要求的边。做完这一次匈牙利后我们取 $d_{min}$ ，并对上一轮匈牙利所遍历到的点的期望值都 $+$ 或 $-$ 这个 $d_{min}$ （左部点就减，右部点就加），这样在进行下一轮匈牙利时就一定会至少多一条边可以满足匹配要求。重复以上操作直到匈牙利算法返回匹配成功就跳出，更换至下一个左部点。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 510;
const ll INF = 4e18;
ll n, m;
ll g[N][N];
bool st[N];
ll match[N];
ll la[N], lb[N], d[N];
bool va[N], vb[N];
ll out[N];
bool find(ll x) {
	va[x] = true;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		if(!vb[i]) {
			if(la[x] + lb[i] == g[x][i]) {
				vb[i] = true;
				if(!match[i] || find(match[i])) {
					match[i] = x;
					return true;
				}
			}
			else {
				d[i] = min(d[i], la[x] + lb[i] - g[x][i]);
			}
		}
	}
	return false;
}
ll km() {
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		la[i] = -INF;
		lb[i] = 0;
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(int j = 1; j <= n; j++) {
			la[i] = max(la[i], g[i][j]);
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		while(1) {
			memset(va, false, sizeof(va));
			memset(vb, false, sizeof(vb));
			fill(d + 1, d + n + 1, INF);
			if(find(i)) break;
			ll delta = INF;
			for(int i = 1; i <= n; i++) {
				if(!vb[i]) {
					delta = min(delta, d[i]);
				}
			}
			for(int i = 1; i <= n; i++) {
				if(va[i]) {
					la[i] -= delta;
				}
				if(vb[i]) {
					lb[i] += delta;
				}
			}
		}
	}
	ll ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		ans += g[match[i]][i];
	}
	return ans;
}
int main() {
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(int j = 1; j <= n; j++) {
			g[i][j] = -INF;
		}
	}
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		ll u, v, w;
		cin >> u >> v >> w;
		g[u][v] = w;
	}
	cout << km() << "\n";
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		cout << match[i] << " ";
	}
	return 0;
}