2023NOIP A层联测32

2023NOIP A层联测32

A flandre

有 $n$ 种烟花，每种烟花有两个参数 $a ， b$ ，你要构造一种燃放顺序，使得 $b$ 的和最大， $b$ 会改变，具体来说：设 $i$ 在 $j$ 前燃放，那么。

$a_{i} < a_{j}$ ，则 $b_{j} + k \to b_{j}$
$a_{i} = a_{j}$ 则 $b_{j}$ 不变
$a_{i} > a_{j}$ 则 $b_{j} - k \to b_{j}$

$1 \leq n \leq 10^{6}$

这个题考场就想到了正解。思考一下，最优方案满足一个性质，将 $a$ 从小到大排序，依次燃放。暴力求答案，然后选出最优的方案就好了，可惜有一个变量没有给初始值挂了 $70$ 分，关键是大样例还过了。

B.meirin

给定两个序列 $a, b$

$q$ 次操作，每次把 $b$ 的 $[l, r]$ 的每个值加上 $k$ ，每次操作后查询：

\sum_{l = 1}^{n} \sum_{r = l}^{n} (\sum_{i = l}^{r} a_{i}) \times (\sum_{i = l}^{r} b_{i}) \mod (10^{9} + 7)

$n, q \leq 5 \times 10^{5}$

因为修改的是 $b$ 的值，我们就可以考虑把 $[l, r]$ 里面的值对答案的影响算出来。

设 $s u m 1_{i}$ 是 $i \times a_{i}$ 的前缀和， $s u m 2_{i}$ 就是 $(n - i + 1) \times a_{i}$ 的前缀和。

每个 $b_{i}$ 的贡献就是 $s u m 1_{i - 1} \times (n - i + 1) + s u m 2_{i + 1} \times i + a_{i} \times i \times (n - i + 1)$

用一个前缀和维护一下这个值就可以做到 $O (1)$ 修改。

考场最后 $30 m i n$ 才想到正解，但是码了 $15 m i n$ 发现只能过小样例过不了大样例，考后才发现是快写打错了。

C.sakuya

有 $n$ 个房间构成了一棵树，边有边权。树上有 $m$ 个特殊的房间，求走完这些房间的期望。

每次修改会使得连接 $x$ 的所有边加上 $k$

$n, m, q \leq 5 \times 10^{5}$

考虑修改一条边的影响，就是这条边两端的特殊房间的数量的乘积。

先把答案求出来，每次修改的时候就是把答案加上这个影响乘上 $k$ 就好了。

D. 红楼 ~ Eastern Dream

给出一个长度为 $n$ 的序列 $a$ ，有 $m$ 次操作，格式如下：

$1, x, y, k$ 对于所有满足 $(i - 1) \mod x \leq y$ 的 $i$ ，将 $a_{i}$ 加上 $k$
$2, l, r$ 求 $\sum_{i = 1}^{r} a_{i}$

$n, m \leq 2 \leq 10^{5}$

根号分治。维护两个数组 $v_{i, j}, v s_{i}$ ，表示对于所有 $(x - 1) \mod i = j$ 的 $x$ ， $a_{x}$ 要加上的值， $v s_{i, j}$ 是 $v_{i, j}$ 的前缀和，即对于所有 $(x - 1) \mod i \leq j$ 的 $x$ ， $a_{x}$ 要加上的值。