浅谈拉格朗日插值法

浅谈拉格朗日插值法

好像FFT要用到，所以就学习一手
版题

什么是插值

在离散数据的基础上补插连续的函数，使得这条连续函数经过所有离散数据点，这个过程就叫插值。

其意义在于：

插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

理解一下:
就是把一个足球踢出去，假设球始终在一个平面上飞行，它的轨迹就可以抽象为 $f(x)$ （假设这个函数至于时间有关）

现在你有一些照片，所以你可以得到某几个时间点球的位置，想要还原出这个函数 $f(x)$ 的轨迹。但是你的照片数量是有限的，而函数的点是连续的所以插值的结果 $g(x)$ 可能有无穷多种

插值有许多方法，包括：三角函数插值；线性插值法；牛顿插值法；拉格朗日插值法 …… 但是蒟蒻只会拉格朗日插值法

拉格朗日插值法

这个方法很简单，相当于硬性拼凑。
举个例子，现在平面上有三个点分别是$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)(x_1<x_2<x_3)$，我们用这三个插值。
我们需要构造 $n$ （这里是3）个函数。第 $i$ 个函数满足：
$\{\begin{array}{c}aligned0,x=x_j(j!=i)\\ 1,x=x_i\\ others,Ido{n}^{\prime }tcare\end{array}$

这是第一个：

第二个：

第三个

然后我们发现 $f(x)=y_1{f}_1(x)+y_2{f}_2(x)+\cdots +y_n{f}_n(x)$

对于我们构造出来的第一 $1$ 条曲线显然满足性质：

$$f_1={\displaystyle \frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}}$$

进一步推广：

$$f_i(x)=\prod _{j\ne i}^n{\displaystyle \frac{x-x^j}{x_i-x_j}}$$

然后就有了：

$$f(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i\ast f_i(x)$$

code

#include <bits/stdc++.h>
#define fu(x , y , z) for(int x = y ; x <= z ; x ++)
#define LL long long
using namespace std;
const LL mod = 998244353;
LL n , k;
struct RE {
    LL x , y;
}re[2005];
LL read () {
    LL val = 0 , fu = 1;
    char  ch = getchar ();
    while (ch < '0' || ch > '9') {
        if (ch == '-') fu = -1;
        ch = getchar ();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        val = val * 10 + (ch - '0');
        ch = getchar ();
    }
    return val * fu;
}
LL ksm (LL x , LL y) {
    LL ans = 1;
    while(y) {
        if(y&1) ans = ans * x %mod;
        x = x * x % mod;
        y >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main () {
    LL ans = 0 , ans1;
    n = read () , k = read ();
    fu (i , 1 , n) {
        re[i].x = read () , re[i].y = read ();
    }
    fu (i , 1 , n) {
        ans1 = re[i].y;
        fu (j , 1 , n)
            if (i ^ j)
                ans1 = 1ll * (ans1 * (k - re[j].x) % mod) * ksm (re[i].x - re[j].x , mod - 2) % mod;
        ans = (ans + ans1+mod) % mod;
    }
    printf ("%lld" , ans);
    return 0;
}