浅谈秦九韶算法

浅谈秦九韶算法

好像FFT要用到，所以就学习一下
听说还是高中必修三的内容？

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• 浅谈秦九韶算法
  • 秦九韶算法的应用：
  • code

秦九韶算法的应用：

当我们知道 $x$ 的值时，求下列式子的值：

$$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1}+a_n{x}^n$$

一开始看到这个式子，我们肯定会想到直接带 $x$ 进去乘不就行了吗
那秦九韶还提出来干什么
我们发现单单一个 $x^n$ 就需要 $n-1$ 次乘法，那么一共就需要 $\sum _{i=1}^{n-1}i$ 次乘法，和 $n$ 次加法，如下 $n=5$ 时：

$$f(x)=a_0+a_{1}x+a_{2}x+a_{3}x+a_{4}x+a_{5}x$$

就需要 $10$ 次乘法和 $5$ 次加法。
显然这个十分复杂，所以才要用到奏九韶算法
秦九韶算法就是将上述式子一步步化简成如下式子:

$$f(x)=(\cdots (a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\cdots +a_1)x+a_0$$

我们发现这个虽然还是要用到 $n$ 次加法，但是乘法次数下降到了 $n-1$ 次，所以这个只需要 $O(n)$的时间就可以实现了。

code

代码十分短

void qinjiushao()
{
    for(int i=n-1;i>=1;i--)
        ans*=x,ans+=a[i];
}