最大流

最大流

目录

• 最大流
  • 简要题意:
  • 先了解几个定义：
    • 流网络
    • 残留网络
  • 朴素做法（Ford-Fulkerson算法）：
    • 做法
    • 局限分析
  • 距离标号
  • code

简要题意:

自来水厂（源点）要把水送到$n$户人家，他们之间的关系构成了一个图，图上还有一个污水处理厂（汇点）
保证每户人家都有一条从源点到汇点的路径经过
图上每条水管都有一定的容量
请问自来水厂怎样才能使输水效率最高？

先了解几个定义：

流网络

流网络$G=(V,E)$是一个有向图，其中每条边$(u,v)$均有一非负容量$c(u,v)\ge 0$。
流网络中有两个特殊的顶点: 源点$s$和汇点$t$。
假定每个顶点都处于从源点到汇点的某条路径上，就是说，对每个顶点$v$，存在一条路径$s\to v\to t$
G为连通图，且$|E|\ge |V|-1$
边的流是一个实值函数f，满足下列三个性质：
1、容量限制：对所有 $u,v\in V$ ,要求$f(u,v)\le c(u,v)$
理解：流量不会超过边的容量
2、反对称性：对所有$u,v\in V$， 要求$f(u,v)=-f(v,u)$
理解：一个方向的流是其反方向流的相反数
3、流守恒性：对所有$u\in V_{s,t}$，要求$\sum _{v}f(u,v)-\sum _w{f}_{w,u}=0$
理解：进入点u的总流量=离开点u的总流量

残留网络

边的残留容量：$r(u,v)=c(u,v)-f(u,v)$
残留网络：给定一流网络$G=(V,E)$和流$f$，由$f$导出的$G$的残留网络是$G_f=(v,E_f)$
其中
$E_f=(u,v)\in V\ast V:r(u,v)>0$
这就是说，在残留网络中，每条边（称为残留边）能够容纳一个严格为正的网络流

当$0<f(u,v)<c(u,v)$，如果 $r(u,v)=c(u,v)-f(u,v)$
此时边(u,v)在残留网络中。

朴素做法（Ford-Fulkerson算法）：

做法

每次从源点开始找到一条路径（边的容量不为0）到汇点，更新这条路径的剩余$r(u,v)$
1、将$C(u,v)-aug$
2、$C(v,u)+aug$ 给程序一次反悔的机会
如果找不到就结束。

局限分析

如图所示的流网络，M非常大，例如10^10。在寻找增广路时不幸按红色所示线路，那么就会不断便利边$1\to 2$，导致时间加大很多，所以我们要想办法优化这种情况，我们加一个距离标号就好了

距离标号

数组$d_i$存$i$点到汇点的距离，$v{d}_i$表示$d\mathrm{中}\mathrm{为}i\mathrm{的}\mathrm{个}\mathrm{数}$
每次$dfs$便利时只能走$d_x=d_{t}o-1$的点，如果没有找到点符合条件，那么$d_x=min\mathrm{与}x\mathrm{相}\mathrm{连}\mathrm{的}\mathrm{点}$
如果$vd$中的某个数为$0$则退出

code

版题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=205;
int n , vd[N] , d[N] , s , t , m , u , v;
long long mp[N][N] , wi;
long long dfs(int x , long long past) {
    if(x == t) 
        return past;
    long long del = 0 , now = past;
    int mind = n - 1;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
        if(!mp[x][i])
            continue;
        if(d[x] == d[i] + 1) {
            del = min(mp[x][i] , now);
            del = dfs(i , del);
            now -= del;
            mp[x][i] -= del;
            mp[i][x] += del;
            if(d[s] >= n) 
                return past - now;
            if(now == 0)
                break;
        }
        mind = min(mind , d[i]);
    }
    if(now == past) {
        vd[d[x]] --;
        if(!vd[d[x]])
            d[s] = n;
        d[x] = mind + 1;
        vd[d[x]] ++;
    }
    return past - now;
}
void flow() {
    long long ans = 0;
    vd[0] = n;
    while(d[s] < n) {
        ans += dfs(s , 100000000000000000);
    }
    printf("%lld" , ans);
}
int main() {
    scanf("%d%d%d%d" , &n , &m , &s , &t);
    for(int i = 1 ; i <= m ; i++) {
        scanf("%d%d%d" , &u , &v , &wi);
        mp[u][v] += wi;
    }
    flow();
    return 0;
}