匈牙利算法（二分图匹配）

匈牙利算法（二分图匹配）

概念

设M是二分图G（V,E）的匹配

1.完备匹配：指二分图中的某一部被匹配完了。
2.完美匹配：指二分图所有点都匹配完了。
3.交错路（轨）：指一条M中的边和一条不是M中的边交替出现。
4.增广路径：指一条开头和结尾都是未匹配边的交错路。
5.点独立集：未匹配的点组成的集合。
6.最大匹配：最多能匹配的边数。

小推论

1.只要能找到增广路径那么现在一定还不是最大匹配：因为把增广路径中的匹配边与非匹配边取反，那么现在的匹配数一定能+1。
2.二分图中最小点独立集=总点数-最大匹配。

做法

枚举X部中的每一个点去找增广路径，找到就取反。

题目

1.P1894完美的牛栏

版题：
设奶牛是X部，牛栏是Y部

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=205;
int n,m,b,hd[N],cnt,a,fg[N],vis[N],cx[N],cy[N],mp[N][N];
int find(int x)
{
    int y;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(mp[x][i])
        {
            y=i;
            if(!vis[y])
            {
                vis[y]=1;
                if(cy[y]==-1||find(cy[y]))
                {
                    // cx[x]=y;
                    cy[y]=x;
                    fg[y]=1;
                    return true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}
void x()
{
    memset(cx,0xff,sizeof(cx));
    memset(cy,0xff,sizeof(cy));
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        // if(cx[i]==-1)
        // {
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            ans+=find(i);
        // }
    }
    printf("%d",ans);
    exit(0);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a);
        for(int j=1;j<=a;j++)
        {
            scanf("%d",&b);
            mp[i][b]=1;
        }
    }
    x();
    return 0;
}

2.火力网

题目大意：

给出一个N*N的网格，用’.'表示空地，用’X’表示墙。在网格上放碉堡，可以控制所在的行和列，但不能穿过墙。
问：最多能放多少个碉堡？

做法：

我们可以把独立的每一行好每一列（中间没有墙）当做X部和Y部，然后再把有公共顶点的连边，然后再跑匈牙利就可以了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=25;
int sum1,sum2,n,a[N][N],mp1[N][N],mp2[N][N],k,vis[N*N],cx[N*N],cy[N*N],mp[N*N][N*N],ans;
char c;
bool find(int x)
{
    for(int i=1;i<=sum2;i++)
    {
        if(!mp[x][i]) continue;
        if(!vis[i])
        {
            vis[i]=1;
            if(cy[i]==-1||find(cy[i]))
            {
                cx[x]=i;
                cy[i]=x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            while(1)
            {
                scanf("%c",&c);
                if(c=='.'||c=='X') break;
            }
            if(c=='.') a[i][j]=0;
            else a[i][j]=1;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(a[i][j]==1) continue;
            sum1++;
            k=j;
            while(1)
            {
                if(a[i][k]==1||k>n) break;
                mp1[i][k]=sum1;
                k++;
            }
            j=k;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(a[j][i]==1) continue;
            sum2++;
            k=j;
            while(1)
            {
                if(a[k][i]==1||k>n) break;
                mp2[k][i]=sum2;
                k++;
            }
            j=k;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(mp1[i][j]!=0)
            {
                mp[mp1[i][j]][mp2[i][j]]=1;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=max(sum1,sum2);i++) cx[i]=cy[i]=-1;
    for(int i=1;i<=sum1;i++)
    {
        if(cx[i]==-1)
        {
            for(int j=1;j<=sum2;j++) vis[j]=0;
            ans+=find(i);
        }
<span class="token punctuation">}</span>
<span class="token function">printf</span><span class="token punctuation">(</span><span class="token string">"%d"</span><span class="token punctuation">,</span>ans<span class="token punctuation">)</span><span class="token punctuation">;</span>
<span class="token keyword">return</span> <span class="token number">0</span><span class="token punctuation">;</span>

}

总结

要想办法建模