平方和公式

先放柿子

$$\sum_{i=1}^{i=n} i^2=\frac{n*(n+1)*(2*n+1)}{6}$$

简单证明

$$\sum_{i=1}^{n} i^2=\sum_{i=1}^{n}i*(i-1)+\sum_{i=1}^{n}i$$
$$=2*\sum_{i=1}^{n}\binom{i}{2}+\frac{n*(n+1)}{2}$$
$$=2*\binom{n+1}{3}+\frac{n*(n+1)}{2}$$
$$=\frac{2*(n+1)!}{(n-2)!*3!}+\frac{n*(n+1)}{2}$$
$$=\frac{(n-1)*(n+1)*n}{3}+\frac{n*(n+1)}{2}$$
$$=\frac{n*(n+1)*(2*n+1)}{6}$$