[ZJOI2010]Perm 排列计数

 

 

 题概：

　　题目描述

　　称一个1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Magic的，当且仅当2<=i<=N时，Pi>Pi/2.

　　计算1，2，...N的排列中有多少是Magic的，答案可能很大，只能输出模P以后的值

　　输入格式

　　输入文件的第一行包含两个整数 n和p，含义如上所述。

　　输出格式

　　输出文件中仅包含一个整数，表示计算1,2,?, ???的排列中， Magic排列的个数模 p的值。

　　样例

　　样例输入

　　20 23

　　样例输出

　　16

　　数据范围与提示

　　100%的数据中，1 ≤ ??? N ≤ 106, P??? ≤ 10^9，p是一个质数。 数据有所加强

 

分析：

　　主要意思就是在

　　1-n的序列里找到P(i)>P(i/2)

　　可以想到二叉堆满足

　　父亲比儿子优的性质

　　所以即维护小根堆从root到叶子的路满足一个magic序列

　　（1）首先是DP

　　因为儿子之间是可以交换的

　　所以有不同的二叉树

　　DP即是求二叉树的种数

　　dp[i]=dp[i*2]*dp[i*2+1]*C(size[i]-1,size[left]);
　　始终没有理解式子
　　其实
　　这样一个小根堆的size，形状都是相对确定的
　　根据乘法原理
　　有两个儿子相乘
　　另外，考虑两个儿子树中的任意节点可交换
　　因此有*C(size[i]-1,size[left])

　　（2）可以看到

　　1 ≤ ??? N ≤ 106, P??? ≤ 10^9

　　这样的数据范围

　　需要有lucas

　　博主因实力太菜

　　实际上花了半天在调lucas

　　lucas戳这里https://www.cnblogs.com/2018hzoicyf/p/11112804.html

最后

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define MAXN 2000010
using namespace std;
int n;
ll p;
ll jc[MAXN];
ll dp[MAXN];
int size[MAXN];
ll pow(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=(ans*a)%p;
        a=(a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return ans%p;
}
ll C(int a,int b){
    if(a<b)return 0;
    if(b==0)return 1;
    return jc[a]*pow(jc[a-b]*jc[b]%p,p-2)%p;
}
ll lucas(int a,int b){
    if(b>a)return 0;
    if(b==0)return 1;
    if(a>p||b>p)return C(a%p,b%p)*lucas(a/p,b/p)%p;
    return C(a,b)%p;
}
void dfs(ll u){
    if(u>n){
        dp[u]=1;
        return ;
    }
    dfs(u<<1);
    dfs(u<<1|1);
    size[u]=size[u<<1]+size[u<<1|1]+1;
    dp[u]=dp[u<<1]*dp[u<<1|1]%p*lucas(size[u]-1,size[u<<1])%p;
    return ;
}
int main(){
    scanf("%d%lld",&n,&p);
    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=jc[i-1]*1ll*i%p;
    dfs(1);
    printf("%lld\n",dp[1]%p);
}