数据结构 第五章 树-特殊二叉树
{ 特殊二叉树}
[满二叉树]
除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点的二叉树。
高度为h的满二叉树，结点总数 n = 2h -1 / (2 - 1) = 2h - 1
满二叉树可以以线性表的形式存储：
索引为 i 的结点，左孩子结点索引为 2i+1 ，右孩子结点的索引为 2i + 2。{索引是从上到下，从左到右}
[完全二叉树]
一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。
性质:
1. n为结点总数， i为结点所在的索引，索引起始值为0, i <= (n-1)/2 则 i为分支结点， i > (n-1) / 2 则i索引所对应的结点为分支结点。
2. 索引为 i 的结点，左孩子结点索引为 2i+1 ，右孩子结点的索引为 2i + 2。{索引是从上到下，从左到右}
3. 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现。
4. 如果存在度为1的结点，那么其子节点一定为叶结点。
5. 索引值i的结点T， i为奇数，T为左孩子结点；i为偶数，T为右孩子结点。
6. 索引为 i值的结点T所在的层次为 Level = log2(i+1) , 层次起始值是0 。 推导， 满 m叉树结论 logm(n(m-1)+1) <= h < logm(n(m-1)+1) +1 ==> log2(n+1) -1 <= h < log2(n+1)
完全二叉树的应用：{大小} 堆排序
[二叉排序树BST]
也称为 二叉查找树。
定义：任意结点且存在子结点的情况下，结点的值大于左孩子结点的值，小于右结点的值， V（Father） > V(Left) && V（Father） < V(Right) , 不存在结点值相等的情况。
中序遍历的值为 2 4 6 8 10 16 20 ，形成了从小到大的依次排序。
BST的主要用于 查找。
查找逻辑流程图如下：
查找的时间复杂度与树的高度h相关，记为 O(h)，最好的情况，BST为完全二叉树的情况下 h = log2n ,所以才有后面的AVL树。
,
{插入}
插入流程图如下：
{删除}
删除数据后，再将该数据插入，产生的二叉树可能与原二叉树不相同。
删除流程图如下：
[平衡二叉树AVL树]
在 BST 的基础上，任意结点的左孩子与右孩子结点的高度差值的绝对值小于1，即 |H(L) - H(R)| <= 1
树的结点总数Nh 【其中h为树的高度】，min（Nh ） = min（Nh-1 ） + min（Nh-2 ） + 1
第0层 min( N0 ) = 1
第1层 min( N1 ) = 2
继续推导 min( N2 ) = min( N0 ) + min( N1 ) + 1 = 1 + 2 +1 = 4
这样构成一个 类似于 斐波那契数列 的 数据集合。
求最小高度使用递归或者 循环+动态规划 来实现。
AVL树结点结构形式：
【判断一棵树为 AVL树】
平衡二叉树结点的存储形式：
hight 记录结点的高度
主体思想： 使用后序遍历记录结点的高度，同时计算左右孩子结点高度的差值的绝对值是否小于等于1，若大于1，则判断该树不为 AVL树，判断函数结束。
* AVL树的旋转调整*
当插入新的结点时，导致树不再是AVL树了，需要通过旋转 {不平衡处的结点}，来达到新的平衡，使得新生成的树仍然是AVL树。
AVL 树平衡旋转分为： LL 右单旋转 、RR 左单旋转、 LR 先左后右旋转、RL 先右后左旋转。
以下4种AVL树插入情况及对应的旋转操作处理：
*LL平衡旋转 右单旋转
A结点的 左孩子L 的 左子树L 上插入了新的结点，导致 A的左右子树不符合AVL的差值。
旋转操作：右单旋转，以A为基点，向右旋转。
【扩展问题】LL 平衡旋转为什么叫 右单旋转？
LL 指的是导致不平衡的原因，上面红字 L L ，右单旋转 指的是旋转操作，上图中的A结点的左右子树差值超过了1，要使得树成为AVL树，需要对结点 A 单独向右旋转，所以称之为 右单旋转。
*RR平衡旋转 左单旋转
A结点的 右孩子R 的 右子树R 上插入了新的结点，导致 A的左右子树不符合AVL的差值。
旋转操作：左单旋转，以A为基点，向左旋转。
*LR平衡旋转 先左后右双旋转
A结点的 左孩子L B结点 的 右子树R 上插入了新的结点，导致 A的左右子树不符合AVL的差值。
旋转操作： 先对以B为根结点的树进行 RR 左旋操作，此时以A为根结点的树变为了 LL情况，再对以A为根结点的树进行 LL右旋操作，树调整完成。
*RL平衡旋转 先右后左双旋转
A结点的 右孩子R B结点 的 左子树L 上插入了新的结点，导致 A的左右子树不符合AVL的差值。
旋转操作： 先对以B为根结点的树进行 LL 右旋操作，此时以A为根结点的树变为了 RR情况，再对以A为根结点的树进行 RR左旋操作，树调整完成。
*AVL 树插入新结点及其平衡调整的流程如下图*
