【bzoj1492】[NOI2007]货币兑换Cash 【cdq分治+斜率优化dp】

题目点这里
题解：
首先，我们会发现，在某一天全部买、全部卖一定比分散买卖更优，因为分散买的话我们可以把它们全部集中到最优的一天买卖，答案一定更优。
设f[i]为第i天卖出全部股票最多能得到的钱。
设第i天用f[i]的钱买x的B卷，rate[i]*x的A卷。
则a[i]∗rate[i]∗x+b[i]∗x=f[i]$a[i]\ast rate[i]\ast x+b[i]\ast x=f[i]$
x∗(a[i]∗rate[i]+b[i])=f[i]$x\ast (a[i]\ast rate[i]+b[i])=f[i]$
x=f[i]/(a[i]∗rate[i]+b[i])$x=f[i]/(a[i]\ast rate[i]+b[i])$
所以第i天最多有rate[i]∗f[i]/(a[i]∗rate[i]+b[i])$rate[i]\ast f[i]/(a[i]\ast rate[i]+b[i])$的A卷，f[i]/(a[i]∗rate[i]+b[i])$f[i]/(a[i]\ast rate[i]+b[i])$的b卷。
如果第i天再卖出第j天的所有股票，中间不进行任何操作，全部所得利润为
a[i]∗rate[j]∗f[j]/(a[j]∗rate[j]+b[j])+b[i]∗f[j]/(a[j]∗rate[j]+b[j])$a[i]\ast rate[j]\ast f[j]/(a[j]\ast rate[j]+b[j])+b[i]\ast f[j]/(a[j]\ast rate[j]+b[j])$
令x[i]=rate[i]∗f[i]/(a[i]∗rate[i]+b[i])$x[i]=rate[i]\ast f[i]/(a[i]\ast rate[i]+b[i])$,y[i]=f[i]/(a[i]∗rate[i]+b[i])$y[i]=f[i]/(a[i]\ast rate[i]+b[i])$
原式可以化简为a[i]∗x[j]+b[i]∗y[j]$a[i]\ast x[j]+b[i]\ast y[j]$
如果k>j在第i天卖出第k天的所有股票比第i天卖出第j天的所有股票更优且y[j] < y[k]，则有
a[i]∗x[k]+b[i]∗y[k]>=a[i]∗x[j]+b[i]∗y[j]$a[i]\ast x[k]+b[i]\ast y[k]>=a[i]\ast x[j]+b[i]\ast y[j]$
a[i]∗(x[k]−x[j])>=b[i]∗(y[j]−y[k])$a[i]\ast (x[k]-x[j])>=b[i]\ast (y[j]-y[k])$
(x[k]−x[j])/(y[j]−y[k])<=b[i]/a[i]$(x[k]-x[j])/(y[j]-y[k])<=b[i]/a[i]$
之后我们可以用cdq分治进行处理。
首先，我们对所有天以b[i]/a[i]$b[i]/a[i]$递增排序。然后进行分治。
设当前分治到左端点为l，右端点为r的连续的r-l+1天,mid=(l+r)/2。
如果l==r，可以直接先计算f[l]的值。
否则，我们将之前排好序的那个数组一分为二，第mid天及以前的丢左边，剩下的丢右边。两边分别仍然是b[i]/a[i]递增排序的。
接着，分治l~mid的区间。
在下一层分治结束后，我们已经将l~mid按y值递增排序了(这个一会儿再提为什么)，
而且mid~r的b[i]/a[i]值也是递增排序的(这是分治l,mid之前的操作！)。
于是我们就可以直接把l~mid的斜率丢进单调队列里面，然后更新mid+1~r的答案。
(注意，mid+1~r的答案现在并没有确定，只是更新，一会儿分治(mid+1,r)的时候还会被更新到！
随着一次次的分治，你会发现f[i]都被任何j<i$j<i$的一天更新过答案！)
接着我们分治mid+1~r。
mid+1~r回溯过来之后，我们将l,mid和mid+1~r的y值进行一次归并排序，使得再回溯上一层的l~mid或者mid+1~r的y值是递增排序的。
仔细推敲之后，你会发现这个递归分治过程是那么巧妙，那么精美！
（由于博主语言表达能力有限，请各位看官仔细理解推敲。）
代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cassert>
using namespace std;
const int N=100005;
const double eps=1e-10;
int n,q[N];
double f[N];
struct data{
    double a,b,rate,k,x,y;
    int id;
    friend bool operator < (const data &a,const data &b){
        return a.k<b.k;
    } 
}a[N],b[N];
double slope(int j,int k){
    if(fabs(a[j].y-a[k].y)<eps){
        return a[k].x-a[j].x>0?-1e18:1e18;
    }
    return (a[k].x-a[j].x)/(a[j].y-a[k].y);
}
void solve(int l,int r){
    if(l==r){
        f[l]=max(f[l-1],f[l]);
        a[l].y=f[l]/(a[l].a*a[l].rate+a[l].b);
        a[l].x=a[l].rate*a[l].y;
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2,j=l,k=mid+1;
    for(int i=l;i<=r;i++){
        if(a[i].id<=mid){
            b[j++]=a[i];
        }else{
            b[k++]=a[i];
        }
    }
    for(int i=l;i<=r;i++){
        a[i]=b[i];
    }
    solve(l,mid);
    j=1,k=0;
    for(int i=l;i<=mid;i++){
        while(j<k&&slope(q[k],i)<slope(q[k-1],q[k])){
            k--;
        }
        q[++k]=i;
    }
    for(int i=mid+1;i<=r;i++){
        while(j<k&&slope(q[j],q[j+1])<a[i].k){
            j++;
        }
        if(j<=k){
            f[a[i].id]=max(f[a[i].id],a[i].a*a[q[j]].x+a[i].b*a[q[j]].y);
        }
    }
    solve(mid+1,r);
    j=l,k=mid+1;
    for(int i=l;i<=r;i++){
        if(j<=mid&&(k>r||a[j].y<a[k].y)){
            b[i]=a[j++];
        }else{
            b[i]=a[k++];
        }
    }
    for(int i=l;i<=r;i++){
        a[i]=b[i];
    }
}
int main(){
    scanf("%d%lf",&n,&f[0]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf%lf%lf",&a[i].a,&a[i].b,&a[i].rate);
        a[i].k=a[i].b/a[i].a;
        a[i].id=i;
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    solve(1,n);
    printf("%.3lf\n",f[n]);
    return 0;
}