【bzoj2669】[cqoi2012]局部极小值 【状压dp】【容斥原理】

题目链接
题解：
首先我们可以想到，如果两个局部最小值是八相邻的，那一定无解。
题目有一个重要的限制，就是局部最小值必须一个不差，但是我们可能在满足了题目要求的情况下，多出了一些局部最小值。
我们先不管这些，考虑如何计算包含某种给定状态中所有局部最小值的矩阵总数。注意，这里可以多算出一些没给的局部最小值。
我们从小到大填数，并且把给定的局部最小值给状压一下。设f[i][j]$f[i][j]$表示填了i$i$个数，填了的局部最小值的状态为j$j$的方案总数。
则易得f[i][j]=f[i−1][j]∗(g[j]−i+1)+f[i−1][k]$f[i][j]=f[i-1][j]\ast (g[j]-i+1)+f[i-1][k]$，k$k$是j$j$去掉某个局部最小值的状态，g[j]$g[j]$表示已经填了的局部最小值的状态为j$j$，已填的局部最小值数量加上还可以填的格子的数量。
考虑什么格子可以填：那就是和仍没有填的局部最小值不是八相邻的所有格子，因为我们是从小到大填数，填了就不满足局部最小值的定义了。
但是我们可能会多弄出一些不存在的局部最小值，没关系，我们容斥一下就好。
细节详见代码。
代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod=12345678;
int n,m,cnt,ans,x[10],y[10],f[30][300],g[300];
char s[10][10];
bool flag,ck[10][10];
void dp(int tot){
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(s[i][j]=='X'){
                x[++sum]=i;
                y[sum]=j;
            }
        }
    }
    int all=(1<<sum)-1;
    for(int i=0;i<=all;i++){
        int rem=all-i;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            for(int k=1;k<=m;k++){
                ck[j][k]=false;
            }
        }
        for(int j=1;j<=sum;j++){
            if(rem&(1<<(j-1))){
                ck[x[j]-1][y[j]-1]=true;
                ck[x[j]-1][y[j]]=true;
                ck[x[j]-1][y[j]+1]=true;
                ck[x[j]][y[j]-1]=true;
                ck[x[j]][y[j]]=true;
                ck[x[j]][y[j]+1]=true;
                ck[x[j]+1][y[j]-1]=true;
                ck[x[j]+1][y[j]]=true;
                ck[x[j]+1][y[j]+1]=true;
            }
        }
        g[i]=0;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            for(int k=1;k<=m;k++){
                if(!ck[j][k]){
                    g[i]++;
                }
            }
        }
    }
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n*m;i++){
        for(int j=0;j<=all;j++){
            f[i][j]=1LL*f[i-1][j]*(g[j]-(i-1))%mod;
            for(int k=1;k<=sum;k++){
                if(j&(1<<(k-1))){
                    f[i][j]+=f[i-1][j-(1<<(k-1))];
                    f[i][j]%=mod;
                }
            }
        }
    }
    if(tot&1){
        ans=(ans-f[n*m][all]+mod)%mod;
    }else{
        ans=(ans+f[n*m][all])%mod;
    }
}
void dfs(int i,int j,int tot){
    if(i==n+1){
        dp(tot);
        return;
    }
    int nx=i,ny=j+1;
    if(ny>m){
        nx++;
        ny=1;
    }
    dfs(nx,ny,tot);
    if(s[i-1][j-1]=='X'||s[i-1][j]=='X'||s[i-1][j+1]=='X'||s[i][j-1]=='X'||s[i][j+1]=='X'||s[i+1][j-1]=='X'||s[i+1][j]=='X'||s[i+1][j+1]=='X'){
        return;
    }
    if(s[i][j]!='X'){
        s[i][j]='X';
        dfs(nx,ny,tot+1);
        s[i][j]='.';
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%s",s[i]+1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(s[i][j]=='X'){
                cnt++;
                if(s[i-1][j-1]=='X'||s[i-1][j]=='X'||s[i-1][j+1]=='X'||s[i][j-1]=='X'||s[i][j+1]=='X'||s[i+1][j-1]=='X'||s[i+1][j]=='X'||s[i+1][j+1]=='X'){
                    flag=true;
                    break;
                }
            }
        }
    }
    if(flag){
        puts("0");
        return 0;
    }
    dfs(1,1,0);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}