【BZOJ2839】集合计数 【容斥原理】【二项式反演】

题意：一个有n$n$个元素的集合有2n$2n$个不同子集（包含空集），现在要在这2N$2N$个集合中取出若干集合（至少一个），使得它们的交集的元素个数为k$k$，求取法的方案数，答案模109+7${10}^9+7$。
题解：我们先考虑有多少种取法，使得这些集合的交的大小至少为k$k$。答案记为α(k)$\alpha (k)$。显然α(k)=Ckn×(22n−k−1)$\alpha (k)=C_n^k\times (2^{2^{n-k}}-1)$，相当于钦定k个元素每个集合都有，剩下的组成一堆集族，每个都可以选或者不选。这里的减一是因为集族中不能一个都不选，否则就没有意义了。
接下来我们考虑构造一个容斥系数f$f$，使得ans=∑ni=0f(i)α(i)$ans=\sum _{i=0}^{n}f(i)\alpha (i)$。
我们考虑每一种交集为x$x$的选法，它被统计到的贡献。显然，交集为x$x$的一种选法会被交集至少为1..x$\mathrm{1..}x$的统计到。如果交集为x$x$的一种选法被交集至少为i$i$的统计到了，说明交集为x$x$的这一种选法有i$i$个被钦定了，剩下仍然没有选的一些集族只有唯一的一种组合方式可以拼出这一种交集为x$x$的选法。
因此，每一种每一种交集为x$x$的选法被统计到的贡献为

∑i=0xf(i)Cix$$\sum _{i=0}^{x}f(i)C_x^i$$

我们设有一个函数g(x)$g(x)$，

g(x)={x=kx≠k10$$g(x)=\{\begin{array}{ll}x=k& \text{1}\\ x\ne k& \text{0}\end{array}$$

则

g(x)=∑i=0xf(i)Cix$$g(x)=\sum _{i=0}^{x}f(i)C_x^i$$

根据二项式反演，

f(x)=∑i=0x(−1)x−iCixg(x)$$f(x)=\sum _{i=0}^x(-1{)}^{x-i}{C}_x^{i}g(x)$$

考虑到仅有g(k)=1$g(k)=1$,
f(x)={0(−1)(x−k)Ckxx<kx≥k$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{x<k}\\ (-1{)}^{(x-k)}{C}_x^k& \text{x≥k}\end{array}$
因此答案为
ans$ans$
=∑ni=0f(i)α(i)$=\sum _{i=0}^{n}f(i)\alpha (i)$
=∑ni=k(−1)(i−k)CkiCin×(22n−i−1)$=\sum _{i=k}^n(-1{)}^{(i-k)}{C}_i^k{C}_n^i\times (2^{2^{n-i}}-1)$
这个东西可以直接O(n)$O(n)$求出，线性处理一下阶乘逆元即可。而且注意22t=(22t−1)2$2^{2^t}=(2^{2^{t-1}}{)}^2$。
代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1000005,mod=1000000007;
int n,k,ans,jc[N],inv[N];
int fastpow(int a,int x){
    int res=1;
    while(x){
        if(x&1){
            res=1LL*res*a%mod;
        }
        x>>=1;
        a=1LL*a*a%mod;
    }
    return res;
}
int C(int n,int m){
    return 1LL*jc[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        jc[i]=1LL*jc[i-1]*i%mod;
    }
    inv[n]=fastpow(jc[n],mod-2);
    for(int i=n-1;i>=0;i--){
        inv[i]=1LL*inv[i+1]*(i+1)%mod;
    }
    for(int i=n,base=2;i>=k;i--){
        if((i-k)&1){
            ans=(ans-1LL*C(i,k)*C(n,i)%mod*(base-1)%mod+mod)%mod;
        }else{
            ans=(ans+1LL*C(i,k)*C(n,i)%mod*(base-1))%mod;
        }
        base=1LL*base*base%mod;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}