【树状数组详解】[洛谷P3374][洛谷P3368][POJ3321]从入门到各种实用技巧
入门级
引入
先看一道模板题洛谷P3374
题意是:维护一个序列，要求支持两种操作:
- 把元素\(x\)的值修改成\(y\)
- 查询区间\([x,y]\)的和
依然可以用暴力，时间复杂度\(O(N^2)\)，太慢了，出题人不会那么善意的让暴力过掉的
那么，我们需要优化到\(O(N~\log~N)\)，才能过
看过线段树的同学肯定一下看出来可以用线段树做，但是，线段树的常数比较大，
一些比较恶意的出题人依然会把它卡掉，所以我们需要常数更小的做法
而且代码量那么大，能用树状数组我才懒得打线段树
我们先不考虑修改操作，先考虑查询操作
因为我们查询的是和，我们就可以先预处理出前缀和，然后查询就会很方便
这时候我们再来考虑修改操作，正常更新前缀和的时间复杂度是\(O(n)\)的
但是树状数组可以神奇地把它优化到\(O(log~n)\)，代价是查询变成\(O(log~n)\)，但比我们的暴力还是要优秀不少的
然后我们就要用到树状数组了
正题
1. lowbit函数
这个函数非常重要，它几乎贯彻整个树状数组
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
\(lowbit(x)=2^{x在二进制下从右往左数第一个1的位置-1}\)
比如\(5_{(10)}=101_{(2)}\)那么\(lowbit(5)=1_{(2)}=1_{(10)}\)
\(~~~~~~~6_{(10)}=110_{(2)}\)那么\(lowbit(6)=10_{(2)}=2_{(10)}\)
2. 树状数组的结构
树状数组算是树型结构了，但在代码中是以数组的形式体现
大小为\(8\)树状数组长这个样子(红色的是边)
不难看出第\(i\)号节点的父亲是第\(i+lowbit(i)\)号节点
树状数组的第\(x个节点\)表示的是\(\sum\limits_{i=x-lowbit(x)+1}^{x}a[i]\)
乍一看好像没什么用，还很复杂，事实上是非常好用的东西
3. 重点:原理
不把这里看懂的话，大概两天之后你就会忘掉到底要怎么写树状数组
树状数组利用了类似于倍增 大概是吧 的想法，结构神奇，但是非常巧妙
查询
假如我们要查询11~\(7\)的前缀和，那么我们需要的值就是\(7\)号节点的值、\(6\)号节点的值和\(4\)号节点的值
这些节点之间看起来没有什么关系 \(~~\)反正我第一次没看出什么关系~~，但是我们把它们转成二进制：
\(7_{10}=111_{2}\)
\(6_{10}=110_{2}\)
\(4_{10}=100_{2}\)
\(0_{10}=000_{2}\)
如果没看出关系的同学，可以再看下一组数据：
假如我们要查询\(1\)~\(5\)的前缀和，那么我们需要的值就是\(5\)号节点的值和\(4\)号节点的值
\(5_{10}=101_{2}\)
\(4_{10}=100_{2}\)
\(0_{10}=000_{2}\)
可以再举一个例子：
假如我们要查询\(1\)~\(45\)的前缀和，那么我们需要的值就是\(45\)号节点的值、\(44\)号节点的值
\(45_{10}=101101_{2}\)
\(44_{10}=101100_{2}\)
\(40_{10}=101000_{2}\)
\(32_{10}=100000_{2}\)
\(0_{10}=00000_{2}\)
规律就出来了：下一个所查找的数的下标=这个数的下标-\(lowbit(\)这个数的下标\()\)
简单来说就是把现在的数的下标在二进制中的最后一个\(1\)变成\(0\)，直到这个数为0为止
这就和我们树状数组的结构很有关系了：
树状数组的第\(x个节点\)表示的是\(\sum\limits_{i=x-lowbit(x)+1}^{x}a[i]\)
这样统计前缀和的方式是非常巧妙的，因为我们如果有\(n\)个元素，那么它最多有\(\lceil log_2n\rceil\)个1，则时间复杂度是\(O(\log~N)\)的
修改
当我们要修改一个值的时候，我们还要把它影响的值全部修改
假如我们要把第\(7\)号的节点的值加上\(x\)，那么编号为\(7\)、\(8\)的节点的值均要加上\(x\)
同样是换成二进制：
\(7_{10}=0111_{2}\)
\(8_{10}=1000_{2}\)
再来两个例子：
假如我们要把第\(5\)号的节点的值加上\(x\)，那么编号为\(5\)、\(6\)、\(8\)的节点的值均要加上\(x\)
\(5_{10}=0101_{2}\)
\(6_{10}=0110_{2}\)
\(8_{10}=1000_{2}\)
假如我们要把第\(45\)号的节点的值加上\(x\)，那么编号为\(7\)、\(8\)的节点的值均要加上\(x\)
\(45_{10}=0101101_{2}\)
\(46_{10}=0101110_{2}\)
\(48_{10}=0110000_{2}\)
\(64_{10}=1000000_{2}\)
规律是：下一个所修改的数的下标=这个数的下标+\(lowbit(\)这个数的下标\()\)
同样，时间复杂度是\(O(\log~N)\)
4. 树状数组的查询（代码）
树状数组不支持任意区间查询，只支持查询前缀
但是查询到前缀后，我们就可以得出答案
巧妙的使用\(lowbit\)函数
时间复杂度\(O(\log~N)\)
void get_sum(int x){//查询1到x的和
int re=0;
while(x){
re=re+sum[x];
x=x-lowbit(x);
}
}
5. 树状数组的修改（代码）
树状数组不支持区间修改，只支持单点修改
要修改一个点的值之后，还需要把它到根的路径上的点进行维护
时间复杂度\(O(\log~N)\)
void update(int x,int y){//把第x个元素加y
while(x<=n){
sum[x]=sum[x]+y;
x=x+lowbit(x);
}
}
6. 模板题代码
于是我们就把模板题做出来了：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=500001;
int n,m,x,y,t,sum[MAXN];
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
void update(int x,int y){//把第x个元素加y
while(x<=n){
sum[x]=sum[x]+y;
x=x+lowbit(x);
}
}
int get_sum(int x){//查询1到x的和
int re=0;
while(x){
re=re+sum[x];
x=x-lowbit(x);
}
return re;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&x);
update(i,x);
}
while(m--){
scanf("%d",&t);
if(t==1){
scanf("%d%d",&x,&y);
update(x,y);
}else{
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",get_sum(y)-get_sum(x-1));
}
}
}
提高级
先看一道模板题洛谷P3368
题意是:
维护一个长度为\(n\)的区间，要求支持两个操作
- 把区间\([l,r]\)之间的值加上\(x\)
- 输出第\(x\)号节点的值
分析
很明显出题人不会那么善意的让暴力过掉，\(n,m\le 500000\)的大数据让我们必须要拿出\(O(\log~N)\)或更优的算法
那么我们又怎么和树状数组扯上关系呢
我们知道树状数组只可以解决有关于前缀的问题
那么我们考虑把区间修改操作换成两个修改后缀的操作
也就是，我们可以把区间\([l,r]\)的值加上\(x\)的操作改成\([l,n]\)加上\(x\),\([r+1,n]\)加上\(-x\)
那么我们就可以很容易用树状数组操作了
上代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=5000002;
int n,m,l,r,t,x,sum[MAXN];
int lowbit(int x){return x&(-x);}
void update(int x,int y){while(x<=n){sum[x]=sum[x]+y;x=x+lowbit(x);}}
int get_sum(int x){int re=0;while(x){re=re+sum[x];x=x-lowbit(x);}return re;}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&x);
update(i,x);update(i+1,-x);
}
while(m--){
scanf("%d",&t);
if(t==1){
scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);
update(l,x);update(r+1,-x);
}else{
scanf("%d",&x);
printf("%d\n",get_sum(x));
}
}
}
再补充一种神奇的用法：
翻译后：
在卡卡的家门前有一棵苹果树，每个秋天都会结许多苹果。卡卡非常喜欢苹果，所以他总是悉心照料这棵大苹果树。
这棵树有n个分叉点，并且它们之间有树枝连接。卡卡将这些分叉点编号，并且树根的编号总是1。苹果就长在这些分叉点上，当然一个分叉点不会长出两个及以上的苹果。卡卡想要知道一棵子树中有多少苹果，以此来了解这棵苹果树的生产能力。
现在的麻烦是，有些时候，卡卡会从树上摘下苹果，而有些时候，一个没有苹果的分叉点上又会长出苹果。你能帮卡卡处理这个问题吗？
Input
输入文件第一行是一个正整数n(1<=n<=100000)，代表苹果树的分叉点数。
接下来n-1行，每行两个整数u和v，代表分叉点u和v之间有一根树枝相连。
第n行包含一个正整数m(1<=m<=100000)，代表操作的数目。
接下来m行，每行代表一个操作。操作可以是以下两种之一：
（1）“C x”代表在分叉点x上的苹果状态被改变了。也就是说，如果之前分叉点x上有苹果，那么现在就被摘掉了；反之，如果以前没有苹果，那么现在就长出了一个苹果。
（2）“Q x”代表查询以分叉点x为根的子树中一共有多少苹果（包括x上的苹果，如果分叉点上x上有苹果的话）
一开始，树上长满了苹果。
Output
对每个查询，输出一行一个整数，代表该子树上的苹果个数。
Sample Input
3
1 2
1 3
3
Q 1
C 2
Q 1
Sample Output
3
2
题解：
先想一下暴力算法，一共有两种：
- 更改直接更改节点的值，查询时遍历整颗子树，更改\(O(1)\)，查询\(O(N)\)，可以卡掉
- 更改时遍历更改节点的所有祖先，查询就可以做到\(O(1)\)，但是修改可以卡到\(O(N)\)（当树退化成链），照样卡掉
那么我们可以将查询的时间复杂度与修改的时间复杂度均衡一下，都变成\(O(\log N)\)，就可以过了
下面才是正题：
我们考虑把树用dfn序表示
（这里是对dfn序的介绍，了解过的同学可以跳过）
dfn序就是我们在对树进行遍历时的遍历出来的序列，顺序是先遍历根，后遍历子树，类似于二叉树的先序遍历，但我们现在所讨论的遍历是对于多叉树的
比如我们对下面的树进行遍历时，dfn序就是ABEGHCDF
不难看出dfn序的一个性质：一个节点的后代在dfn序中是相邻的
写一下遍历的代码:
void dfs(int now){//有根树的遍历，无根树在遍历时要加上到父亲的特判 dfn[++cnt]=now;//cnt是时间戳，dfn数组里存的是dfn序 in[now]=cnt;//in数组存的是now的子树在dfn序中对应的序列的开头的下标 for(int i=head[now];~i;i=nxt[i])dfs(child[now]);//对儿子进行遍历 out[now]=cnt;//out数组存的是now的子树在dfn序中对应的序列的末尾的下标 }
我们可以巧妙领dfn序的性质，把树表示成一维的，同时使用查分的思想，把答案统计转换成前缀和的统计
然后就可以用树状数组处理这一题了，查询和修改的时间复杂度都是\(O(\log N)\)
上面可能讲的不够清楚，不懂得同学可以对照代码理解一下
#include<iostream>
using namespace std;
int n,x,y,q,cnt,a[1000001],in[1000001],out[1000001],v[1000001],nxt[1000001],head[1000001];
bool tf[1000001];//tf数组储存第i号节点有没有苹果
char st[2];
void add_edge(int x,int y){//加双向边
v[++cnt]=x;nxt[cnt]=head[y];head[y]=cnt;
v[++cnt]=y;nxt[cnt]=head[x];head[x]=cnt;
}
int low_bit(int x){
return x&(-x);
}
void add(int x,int y){//树状数组更新
while(x<=n){
a[x]=a[x]+y;
x=x+low_bit(x);
}
}
int sum(int x){//树状数组求和
int ans=0;
while(x>0){
ans=ans+a[x];
x=x-low_bit(x);
}
return ans;
}
int ans(int x,int y){//查分
return sum(y)-sum(x-1);
}
void dfs(int now,int la){//处理出dfn序
in[now]=++cnt;
for(int i=head[now];i!=0;i=nxt[i])if(v[i]!=la)dfs(v[i],now);
out[now]=cnt;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<n;i++){
scanf("%d%d",&x,&y);
add_edge(x,y);
}
cnt=0;
dfs(1,-1);//dfn序
for(int i=1;i<=n;i++)add(i,1),tf[i]=true;//一开始树的每个节点都有苹果
scanf("%d",&q);
for(int i=1;i<=q;i++){
scanf("%s%d",st,&x);
if(st[0]=='Q')printf("%d\n",ans(in[x],out[x]));else{
if(tf[in[x]])add(in[x],-1);//有苹果就摘掉
else add(in[x],1);//没苹果就长出来
tf[in[x]]=!tf[in[x]];
}
}
}
小结：
树状数组的基本知识到这里就差不多讲完了，实际应用很广，不可能一篇博客写完，遇到可以查分的问题可以向查分想想，大概就是这样了
