分治----归并统计逆序对

HDU_4911_Inversion_归并统计逆序对_杭电多校A题

Inversion

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Problem Description

bobo has a sequence a₁,a₂,…,a_n. He is allowed to swap two adjacent numbers for no more than k times.
Find the minimum number of inversions after his swaps.
Note: The number of inversions is the number of pair (i,j) where 1≤i<j≤n and a_i>a_j.

Input

The input consists of several tests. For each tests:
The first line contains 2 integers n,k (1≤n≤10⁵,0≤k≤10⁹). The second line contains n integers a₁,a₂,…,a_n (0≤a_i≤10⁹).

Output

For each tests:
A single integer denotes the minimum number of inversions.

Sample Input

3 1

2 2 1

3 0

2 2 1

Sample Output

1

2

 

 

1.题意：

一个包含n个数的数列，你可以操作不超过k次，每次可以交换相邻的两个数。问你最后逆序对数目的最小值。

2.题解：

（1）每次交换操作，只能减少一个逆序对，例如 （a>b）（b>c）（c>d）有a,b,c,d这个数列，通过交换（b,c）得到a,c,b,d，那么只是（b,c）这对逆序对消失了，其他的逆序关系不受影响。

（2）如果原数列含有sum个逆序对，那么你通过交换可以得到Max(sum-k,0)个逆序对

（3）统计逆序对的朴素算法是n^2的复杂度，归并法用nlogn的复杂度就可以解决。

（4）网上对于归并法的介绍很多，但是我看到的博客只有一篇看懂了，大多数都没有仔细说，这里我就介绍一遍归并求逆序对的方法。

假如我们要将两个有序（从小到大）数列Array[l,m],Array[m+1,r]合并成一个的有序数列，我们可以这样做。用p指向第一个数组的首位，用q指向第二个数组的首位，用cur指向临时数组的首位，每次把小的那一个插到临时数组的末尾，同时移动指针，这样最后临时数组就是一个有序的了。操作过程中，当A[p]<=A[q]时，t[cur++]=A[p++]（A[p]更小，就将A[p]插到t的末尾），当A[p]>A[q]时，由于A是从小到大排列的，A[p,m]>A[q]，所以在l~m之间有m-p+1个数可以和A[q]构成逆序对（对于任意位置上的那个数，每次都只会扫到位置在他前面且值比他大的数，而且每次一旦扫到，那个位置在他前面且值比他大的数在临时数组里就会放到他的后面，保证不会重复计算到），接着插入临时数组t[cur++]=A[q++]。

（5）本题还有树状数组的解法，比较容易理解，所以再介绍一遍树状数组的。

首先10^9的范围太大了，所以将数值离散化成10^5的，方法就是先排序，再去除重复的值。原数组从后到前扫描一遍复杂度为n，对于每个数，用树状数组看在他后面有多少个比他小的数的复杂度时logn，这样总的复杂度是nlogn。

 

代码案例：

#include<iostream>

using namespace std;
const int MAXN=111111;
long long int arr[MAXN];
long long int co=0;

template<typename  T>
void __shipUp(T arr[],int l,int mid,int r){

    T aux[r-l+1];
    for(int i=l;i<=r;i++){
        aux[i-l]=arr[i];
    }

    int k=mid+1;
    int i=l;
    for(int j=l;j<=r;j++){

        if(i>mid){
            arr[j]=aux[k-l];
            k++;

        }else if(k>r){
            arr[j]=aux[i-l];
            i++;
        }else if(aux[i-l]<=aux[k-l]){
            arr[j]=aux[i-l];
            i++;
        }else{
            arr[j]=aux[k-l];
            k++;
            co+=mid+1-i;
        }
    }
}
template<typename  T>
void __mergesort(T arr[],int l,int r){

    if(l>=r)
        return;
    int mid=(l+r)/2;
    __mergesort(arr,l,mid);
    __mergesort(arr,mid+1,r);
    __shipUp(arr,l,mid,r);

}
template<typename  T>
void mergesort(T arr[], int n){

    __mergesort( arr , 0 , n-1 );
}

int main(){

    int n,m;
    long long int k;

    while(cin>>n>>m){

        for(int i=0;i<n;i++){
            cin>>k;
            arr[i]=k;
        }
        mergesort<__int64>(arr,n);
        //for(int i=0;i<n;i++){
          //  cout<<arr[i]<<" ";
        //}
        //cout<<endl;
        cout<<max(0LL,co-m)<<endl;
        co=0;
    }

    return 0;
}