将一个整数m分成n个整数之和

放苹果

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Description

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

Input

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

Output

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

Sample Input

1
7 3

Sample Output

8

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int coun(int m, int n);
int main(){ 
    int x, m, n;
    while(cin >> x){
        while (x--){
            cin >> m >> n;
            int res = coun(m, n);
            cout << res << endl;
        }
    }
    return 0;
}
int coun(int m, int n){
    if (m == 0 || n == 1)
        return 1;
    if (n > m)
        return coun(m, m);
    else
        return coun(m, n - 1) + coun(m - n, n);
}

运行结果

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7 3
8
3
2 5
2
5 2
3
8 5
18

算法分析

典型的用动态递归解法，其实这根将一个整数m分成n个整数之和是类似的。设f[m][n]为将m分成最多n份的方案数，且其中的方案不重复，即每个方案前一个份的值一定不会比后面的大。则有：f[m][n] = f[m][n - 1] + f[m - n][n]，其中f[m][1]=1、f[0][n]=1.其中的含义是：分的方案包含两种，一是方案中不含有空的情况，则从每个盘子里面拿出一个来也不影响最终的结果，即f[m][n] = f[m - n][n]，二是方案中含有的空的情况，至于含有几个空暂时不考虑，只用考虑一个空的就行，即f[m][n] = f[m][n - 1]，在这种递归调用中会重复调用含有空的情况，也就是最终包含了各种可能为空的情况。