BZOJ4350: 括号序列再战猪猪侠

Description

括号序列与猪猪侠又大战了起来。

众所周知，括号序列是一个只有(和)组成的序列，我们称一个括号

序列S合法，当且仅当:

1.( )是一个合法的括号序列。

2.若A是合法的括号序列，则(A)是合法的括号序列。

3.若A，B是合法的括号序列，则AB是合法的括号序列。

我们考虑match[i]表示从左往右数第i个左括号所对应的是第几个右

括号，现在他得到了一个长度为2n的括号序列，给了你m个信息，第i

个信息形如ai,bi，表示match[ai]<match[bi]，要你还原这个序列。

但是你发现这个猪猪侠告诉你的信息，可能有多个括号序列合法；甚

至有可能告诉你一个不存在合法括号序列的信息！

你最近学了取模运算，你想知道答案对998244353(7*17*2^23+1)取

模的结果，这个模数是一个质数。

Input

第一行一个正整数T,T< = 5，表示数据组数。

对于每组数据，第一行一个n,m，n表示有几个左括号，m表示信息数。

接下来m行，每行两个数ai,bi，1< = ai,bi< = n。

Output

对于每组数据，输出一个数表示答案。

Sample Input

5
1 0
5 0
3 2
1 2
2 3
3 2
2 1
2 3
3 3
1 2
2 3
3 1

Sample Output

1
42
1
2
0

HINT

 对于前两个点，是卡特兰数的情况。

对于第三个点，合法的情况只可能是 ()()()。

对于第四个点，合法情况可能是 (()()) 或者 (())()、

对于第五个点，由于拓扑关系形成了环，显然无解。

对于 100% 的数据，保证 n < = 300

题解：如果match[ai]<match[bi]，那么为了序列能合法，若ai<bi,ai所对应的右括号也一定在bi的左边，若ai>bi，ai和它所对应的右括号，一定被bi所对应的的括号包在中间，我们来考虑一下括号有几种可能吧，很显然有（AB），（）AB，{AB（）可看做同种情况},(A)B,这三种方案，我们枚举一个区间的左括号，f[i][j]表示第i个左括号到第j个左括号能形成多少种方案。

   1.如果要符合上面的第一种方案，那么很明显第i个左括号和它对应的右括号不能完全在AB的左边，即第i个左括号对第i+1到j之间的左括号不能有任何一个被提出过match[i]<match[i+1~j]，如果符合的话我们就加上f[i+1][j]。

   2.如果要符合第二种方案，那么第i个左括号和它对应的右括号必须完全在AB的左边，即第i个左括号对第i+1到j之间的左括号必须每个都被提出过match[i]<match[i+1~j]，等同于第i+1~j之间的括号对第i个括号没有被提出过match[i+1~j]<match[i],如果符合的话我们就加上f[i+1][j]。

   3.如果要符合第三种我们就要进行枚举了，因为我们不知道B序列最右边的左括号是总序列中的第几个括号。枚举一个k来表示A中的最后一个左括号，则B中的开头左括号为k+1，我们要如何满足这种条件呢？有两个注意点，（1）.k+1到j的括号必须全部都在i~k括号的右边。（2）.i+1~k括号必须包含在第i个括号中，即第i个括号不能在他们的右边。

只要满足注意点，它的方案数就可加上两边的乘积。

最最重要的一点来了，我们如何去判断括号在左边右边呢？不要说去一个个枚举。。。我们用一个s数组来储存关系，若match[ai]<match[bi],则s[ai][bi]赋值为1，反之，赋值为0，假设我们现在需要第a~b个左括号全部都在第c~d个括号包括对应的右括号的右边就是说任何一个s[ai~bi][ci~di]都需要为0，那么实际上我们只要知道一个左上角为a,b，右下角为c,d的矩阵中的元素为0，就可以了。那么判断的时候我们只需要用矩阵前缀和就可以用O(1)的复杂度算出矩阵的值从而判断左右关系。

大概就是这样了，具体程序看吧。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
int j,n,m,t,x,y,s[500][500];
long long f[500][500];//一定要记得开long long，否则。。。
int kk=998244353;
int check(int a,int b,int c,int d)
{
    return (s[c][d]-s[c][b-1]-s[a-1][d]+s[a-1][b-1]);
}
void work()
{   
        memset(s,0,sizeof(s));//记得清空
    memset(f,0,sizeof(f));    
    cin>>n>>m;
    for (int i=1;i<=m;i++) 
    {
      
      cin>>x>>y;
      s[x][y]=1;//记录对应的关系
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
     for (int j=1;j<=n;j++)
     s[i][j]=s[i][j]+s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];//矩阵前缀和
    for (int i=1;i<=n;i++)
    if (check(i,i,i,i)==1)//如果自身对自身有所限制的话，那么这种情况是不存在的，可以直接输出0.
    {
        printf("0\n");
        return;
    } 
    for (int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=1;//构成单个括号的可能性只有一种
    
    for (int len=2;len<=n;len++)
     for (int i=1;i<=n-len+1;i++)
     {
         j=i+len-1;
         if (check(i,i+1,i,j)==0) f[i][j]=(f[i][j]+f[i+1][j])%kk;
         if (check(i+1,i,j,i)==0) f[i][j]=(f[i][j]+f[i+1][j])%kk;
         for (int k=i+1;k<=j-1;k++)
         if ((check(k+1,i,j,k)==0)&&(check(i,i+1,i,k)==0))
         f[i][j]=(f[i][j]+f[i+1][k]*f[k+1][j]%kk)%kk;//这个程序中解释过了
     }
    cout<<f[1][n]<<endl;
}
int main()
{
  cin>>t;
  for (int i=1;i<=t;i++) //多组输入数据
  work();
  return 0; 
}