20145327寒假第二周学习总结

集合论 ——集合代数、关系、函数、集合的基数

集合的元素具有的性质：无序性、相异性、确定性、任意性

集合与元素的关系：∈、∉  集合与集合的关系：⊆, =, ⊈,≠

空集是任何集合的子集， ∅是惟一的

幂集：P(A)={x | x包含于A}   计数：如果|A|=n，则|P(A)|=2*n.

集合的运算：并 A∪B = {x | x∈A ∨ x∈B} ； 交 A∩B = {x | x∈A ∧ x∈B}； 相对补 A-B = {x | x∈A ∧ x∉B} ； 对称差 A异或B = (A-B)∪(B-A) ； 绝对补 ~A = E-A

容斥原理：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|      

              |A∪B∪C| =|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

集合算律：

 

 

有序对：由两个元素x和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作<x,y>.

<x,y>≠<y,x> （当x≠y时）

笛卡尔积：设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作A×B，且 A×B = {<x,y>| x∈A∧y∈B}.

笛卡尔积的性质：

（1）不适合交换律 A×B ≠ B×A (A≠B, A≠∅, B≠∅)

（2）不适合结合律 (A×B)×C ≠ A×(B×C) (A≠∅, B≠∅, C≠∅)

（3）对于并或交运算满足分配律 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) ； (B∪C)×A = (B×A)∪(C×A) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) ；(B∩C)×A = (B×A)∩(C×A)

（4）若A或B中有一个为空集，则A×B就是空集. A×∅ = ∅×B = ∅

（5）若 |A| = m, |B| = n, 则 |A×B| = mn

二元关系：如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对； （2）集合是空集。 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如果<x,y>∈R, 可记作xRy；如果<x,y>∉R, 则记作x R/ y

|A|=n, |A×A|=n*2, A×A的子集有2*n*2 个. 所以A上有 2*n*2个不同的二元关系.

定义域domR = {x | 彐y (<x,y>∈R) } ；值域ranR = {y | 彐x (<x,y>属于R) }；域 fldR = domR ∪ ranR

逆：   R*-1 = {<y,x> | <x,y>∈R}

合成：R°S = |<x,z> | 彐 y (<x,y>∈R∩<y,z>∈S) }

(F*-1)*-1=F ； domF*-1= ranF； ranF*-1= domF

(F°G)°H = F°(G°H)； (F°G)°1 = G*-1°F*-1

A上关系的幂运算：设R为A上的关系, n为自然数, 则R的n次幂定义为：（1） R°={<x,x>|x∈A}=IA（2） R*n+1=R*n°R

设R是A上的关系, m, n∈N, 则 （1）Rm°Rn = R*m+n （2）(R*m)*n = R*mn

设R为A上的关系, （1）若∀x(x∈A→<x,x>∈R), 则称R在A上是自反的.（2）若∀x(x∈A→<x,x>∉R), 则称R在A上是反自反的.

自反关系：全域关系EA, 恒等关系IA, 小于等于关系LA, 整除关系DA

反自反关系：实数集上的小于关系、幂集上的真包含关系.

设R为A上的关系, （1）若∀x∀y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R), 则称R为A上的对称关系.                          （2）若∀x∀y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y), 则称R为A上的反对                                称关系.

传递性：设R为A上的关系, 若∀x∀y∀z(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R),则称R是A上的传递关系.

传递关系：A上的全域关系EA；恒等关系IA和空关系∅； 小于等于和小于关系；整除关系；包含与真包含关系。

关系性质的三种等价条件：

 

闭包：设R是非空集合A上的关系, R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R', 使得R'满足以下条件： （1）R'是自反的（对称的或传递的） （2）R⊆R' （3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R'' 有R'⊆R''.

一般将R的自反闭包记作r(R), 对称闭包记作s(R), 传递闭包记作t(R).

设R为A上的关系, 则有（1）r(R)=R∪R°（2）s(R)=R∪R*-1（3）t(R)=R∪R2∪R3∪…

等价类：设R为非空集合A上的等价关系, ∀x∈A，令 [x]R = {y | y∈A∧xRy} 称[x]R为x关于R的等价类, 简称为x的等价类, 简记为[x].

等价类的性质：设R是非空集合A上的等价关系, 则（1）∀x∈A, [x]是A的非空子集.（2）∀x,y∈A, 如果xRy, 则 [x] = [y].（3）∀x,y∈A, 如果x R/  y, 则 [x]与[y]不交.（4）∪{[x] | x∈A}=A

商集：设R为非空集合A上的等价关系, 以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集, 记做A/R, A/R = {[x]R | x∈A}

偏序关系：非空集合A上的自反、反对称和传递的关系，记作≼. 设≼为偏序关系, 如果<x, y>∈≼, 则记作x≼y, 读作x“小于或等于”y.

设<A,≼>为偏序集, BA, y∈B.（1）若∀x(x∈B→y≼x)成立, 则称y为B的最小元.

                                          （2）若∀x(x∈B→x≼y)成立, 则称y为B的最大元. 

                                          （3）若∀x(x∈B∧x≼y→x=y)成立, 则称y为B的极小元.                                                  （4）若∀x(x∈B∧y≼x→x=y)成立, 则称y为B的极大元.

设<A, ≼>为偏序集, B⊆A, y∈A. （1）若∀x(x∈B→x≼y)成立, 则称y为B的上界.

                                           （2）若∀x(x∈B→y≼x)成立, 则称y为B的下界.

                                           （3）令C＝{y| y为B的上界}, 则称C的最小元为B的最小上界                                                   或上确界.                              

                                            （4）令D＝{y| y为B的下界}, 则称D的最大元为B的最大下界                                                   或下确界.

设F为二元关系, 若∀x∈domF都存在唯一的y∈ranF使xFy成立, 则称F为函数 。

设f：A→B, （1）若ranf=B, 则称f：A→B是满射的。

                （2）若y∈ranf都存在唯一的x∈A使得 f(x)=y, 则称f：A→B是单射的。

                （3）若f：A→B既是满射又是单射的, 则称 f：A→B是双射的。

 

存在的问题： 不会画关系矩阵图、不太能准确写出二元关系的集合表达式、函数的单射满射双射不太理解...