棋盘分割（二维区间DP）

题目大意：给一个棋盘，棋盘上每个格子中都有一个值，现在需要将棋盘切成n个矩形，总共切n-1刀，求最小的均方差。均方差定义为：，其中。

题目分析：将均方差化简得到：均方差²=(Σx_i²)/n-平均值²。显然，平均值²是定值，为数字总和除以n。只需让矩形的和的平方和最小即可。先预处理出数组s(x1,y1,x2,y2)，表示左上角为(x1,y1)，右下角为(x2,y2)的矩形上数字和的平方，定义dp(k,x1,y1,x2,y2)表示将矩形(x1,y1,x2,y2)切k刀能获得k+1个矩形时各矩形上数字和的最小平方和。则状态转移方程为：dp(k,x1,y1,x2,y2)=min{ min(dp(k-1,x1,y1,i,y2)+s(i+1,y1,x2,y2)),min(dp(k-1,i+1,y1,x2,y2)+s(x1,y1,i,y2))), x1≤i<x2 (横着切)

　　　　　　　　　　　　　min(dp(k-1,x1,y1,x2,j)+s(x1,j+1,x2,y2)),min(dp(k-1,x1,j+1,x2,y2)+s(x1,y1,x2,j))), y1≤j<y2 (竖着切)

}

 

代码如下：

# include<iostream>
# include<cstring>
# include<cstdio>
# include<cmath>
# include<algorithm>
using namespace std;

const int INF=1<<30;

int w[8][8],n;
int dp[16][8][8][8][8],s[8][8][8][8];

int getS(int a,int b,int c,int d)
{
    int sum=0;
    for(int i=a;i<=c;++i)
        for(int j=b;j<=d;++j)
            sum+=w[i][j];
    return sum*sum;
}

void work(int x,int y)
{
    for(int i=x;i<8;++i)
        for(int j=y;j<8;++j)
            s[x][y][i][j]=getS(x,y,i,j);
}

void init()
{
    for(int i=0;i<8;++i)
        for(int j=0;j<8;++j)
            work(i,j);
}

void ceShi()
{
    for(int i=0;i<8;++i)
        for(int j=0;j<8;++j)
            for(int k=i;k<8;++k)
                for(int l=j;l<8;++l)
                    cout<<i<<' '<<j<<' '<<k<<' '<<l<<' '<<s[i][j][k][l]<<endl;
}

int dfs(int k,int xa,int ya,int xb,int yb)
{
    if(dp[k][xa][ya][xb][yb]>=0) return dp[k][xa][ya][xb][yb];
    int &u=dp[k][xa][ya][xb][yb];
    if(k==0) return u=s[xa][ya][xb][yb];
    if(xa==xb&&ya==yb) return u=s[xa][ya][xb][yb];
    u=INF;
    for(int i=xa;i<xb;++i){
        u=min(dfs(k-1,xa,ya,i,yb)+s[i+1][ya][xb][yb],u);
        u=min(dfs(k-1,i+1,ya,xb,yb)+s[xa][ya][i][yb],u);
    }
    for(int i=ya;i<yb;++i){
        u=min(dfs(k-1,xa,ya,xb,i)+s[xa][i+1][xb][yb],u);
        u=min(dfs(k-1,xa,i+1,xb,yb)+s[xa][ya][xb][i],u);
    }
    return u;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        double sum=0.0;
        for(int i=0;i<8;++i)
            for(int j=0;j<8;++j){
                scanf("%d",&w[i][j]);
                sum+=(double)w[i][j];
            }
        sum/=(double)n;
        memset(s,0,sizeof(s));
        init();
        //ceShi();
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        dfs(n-1,0,0,7,7);
        double ans=(double)dp[n-1][0][0][7][7]/(double)n-sum*sum;
        printf("%.3lf\n",sqrt(ans));
    }
    return 0;
}