组合数学引论部分习题答案

 第一章

第6题 证明：从1，2，…，200个数中取100个整数，其中之一小于16，那么必有两个数，一个能被另一个整除

假设命题成立.
首先将1-200按照连续除以2,直到不能被2整除的结果分为100组,即:
1,1*2,1*4,...
3,3*2,3*4,...
...
197
199
每一组中的数都能互相整除.所以如果想取100个不能互相整除的数,只能每个组取一个.设取的数为
a1 = 1*2^k1
a3 = 3*2^k3
a5 = 5*2^k5
...
a199 = 199*2^k199
设那个小于16的数为ai=i*2^ki,i>=1.
则a3i=3i*2^k3i,于是k3i<ki,即k3i<=ki-1否则ai将整除a3i
ai<16

a3i=3(i*2^k3i)<=3(i*2^ki-1)=3*ai/2<3*16/2=24 以此类推
a9i=3*a3i/2<3*24/2=36

a27i=3*a9i/2<54
a81i=3*a27i/2<81
而a81i=81*（i*2^k81i)>=81 故矛盾,所以假设不成立.命题得证明.

第9题   在坐标平面上任意给定13个整点（两个坐标均为整数的点）则必有一个以他们中的三个为顶点的三角形其重心也是整点

三角形重心坐标为（(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3);这道题的关键就是适当地分类。

对13个点的x,y分别考虑，对于所有的x（共13个）来说，按照除以3以后的余数来划分，
可以分为0,1,2三类，其中必有一类为5个或以上(抽屉原理).
对于这一类的5个点，任意取三个的话，它们的重心的x坐标为整数。
考虑它们的y值，也可以分为余数为0,1,2三类,假如某一类有超过3个元素的话，取得
这三个点的y值，他们的重心的y坐标为整数。

如果没有任何一个类有超过3个元素的话，从这三个类中各取一个元素，即可得到
重心y坐标为整数的三角形。
第20题 将从1到67的正整数任意分成四部分，则其中必有一部分至少有一个元素是该部分中某个元素之差
利用定理1.4.2 由r2=6 可知 r3<=17 再推出 r4<=66 结合1.4.4可得答案

第23题 

第25题

(1)花了很长时间还是想不出来，请高手指点

灰常感谢 18fanana同学 提供的答案

只需要构造一个 {1，2，。。。，3S(n-1)-2} 的 n-划分, 使得划分中的任何子集都没有x+y=z的解。

存在 {1，2，。。。，S(n-1)-1} 的 （n-1）-划分： A1,A2, ...,A(n-1), 使得划分中的任何子集都没有x+y=z的解。

由{Ai} 可以这么构造一个 {1，2，。。。，3S(n-1)-2} 的 n-划分:
Bi = {3a, 3a-1 | a 属于 Ai}, i= 1,..., n-1
C = {3a-2| a <= S(n-1) }. 

验证 没有x+y=z的解:
在C中， x+y 模3余2， z模3余1, 无解。

在Bi中， 观察 x,y 的形式有三类：
1.如果有 3a+3b = 3c 形式的解， 则 a+b=c 是原来的 Ai中的一个解，与Ai的条件矛盾。 
2. (3a-1)+(3b-1) = 3(a+b)-2, 显然无解。
3. 如果有 3a+（3b-1） = 3c-1 形式的解，则 3b, 3c 也属于Bi, => a+b=c 是原来的 Ai中的一个解，与Ai的条件矛盾。  

所以 {1，2，。。。，3S(n-1)-2} 的 n-划分,B1，。。。，B（n-1）,C 使得划分中的任何子集都没有x+y=z的解。所以 Sn>=3S(n-1)-1

(2)将(1)变形可得Sn-1/2>=3(Sn-1 -1/2)迭代一下可得 答案
                                                                                       第二章

第13题 计数从（0，0）点到（n，n）点的不穿过直线y=x的非降路径数。

先考虑对角线下方的路径，这种路径都是从（0，0）点出发经过（1，0）点及（n，n-1）点到达（n，n）的。