向量空间与范数

把n维向量的全体所构成的集合R^n叫做n维向量空间。下面介绍向量空间的有关知识。

定义：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于向量的加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间。

所谓封闭，是指在集合V中可以进行向量的加法及乘数两种运算。具体地说，就是：若a属于V，b属于V，则a+b属于V；若a属于V，λ属于R，则λa属于V。

例17 3维向量的全体R^3，就是一个向量空间，因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量，数λ乘3维向量也仍然是3维向量，它们都属于R^3。我们可以用有向线段形象地表示3维向量，从而向量空间R^3可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体。由于以原点为起点的有向线段与其终点一一对应，因此R^3也可看作取定坐标原点的点空间。

类似地，n维向量的全体R^n，也是一个向量空间。不过当n>3时，它没有直观的几何意义。

 

范数（norm）是数学中的一种基本概念，在泛函分析中，范数是一种定义在赋范线性空间中函数，满足相应条件后的函数都可以被称为范数。

范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范函是一个函数，其为矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数反而可以为非零的矢量赋予零长度。

举一个简单的例子，在二维的欧式几何空间R就可定义欧式范数。在这个矢量空间中的元素常常在笛卡尔坐标系统中被画成一个从原点出发带有箭头的有向线段。每一个矢量的欧式范数就是线段的长度。

其中定义范数的矢量空间就是赋范矢量空间。同样，其中定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。

假设V是域F上的矢量空间；V的半范数是一个函数，，满足于：.......