收集邮票（概率dp）

题目大意

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。 现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

输入格式

• 一行,一个数字N N<=10000

输出格式

• 要付出多少钱. 保留二位小数

算法分析

• 显然是个期望dp
• 首先定义dp方程
  设f[i] 表示取到 i 种邮票之后，把其它所有邮票取完的期望次数
  g[i] 表示取到i 种邮票之后，把其它所有邮票取完的期望价格
• 那么f[i]的转移就是 \(f[i] = \frac{i}{n}*f[i]\) \(+\) \(\frac{n-i}{n}\) \(* f[i+1] + 1\) 因为已经选了i种物品 对于选下一种物品 有\(\frac{i}{n}\)的概率选到已经已经选过的物品 有\(\frac{n-i}{n}\)的概率选到未选到的物品 移项可得 \(f[i] = f[i+1]\) + \(\frac{n}{n-i}\) 这样我们就得到了关于i 与 i + 1 的线性推关系
• g[i] 的转移就是 $g[i] = \(\frac{i}{n} * (g[i] + f[i] + 1)\) + \(\frac{n-i}{n}\) * (g[i+1] + f[i+1] + 1) 然后移项可得 g[i] = \(\frac{i}{n-i}\) + \(g[i+1] + f[i+1]\) + \(\frac{n}{n-1}\)
• 这样我们就可以递推求解了

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 10;
int n;
double f[maxn],g[maxn];

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=n-1;i >= 0;--i) {
        f[i]=f[i+1]+(1.0*n)/(1.0*(n-i));
        g[i]=(1.0*i)/(1.0*(n-i))*(f[i]+1)+g[i+1]+f[i+1]+1;
    }
    printf("%.2lf\n",g[0]);
    return 0;
}