雅可比行列式

雅可比行列式

雅可比行列式在多元积分的变量替换中扮演着关键角色，它能帮助我们准确地转换积分区域和被积函数，从而简化积分计算。

核心原理:

多元积分的变量替换类似于一元积分的换元积分法，但需要考虑多个变量的相互关系。雅可比行列式反映了新旧坐标系之间的比例关系，它能够保证积分结果的正确性。

步骤:

1. 定义变换: 设原坐标系为 $(x,y,...)$，新坐标系为$(u,v,...)$，并定义变换关系：

   x = x(u, v, ...)
   y = y(u, v, ...)
   ...

2. 计算雅可比行列式: 计算新旧坐标系之间的偏导数矩阵，并求其行列式：

$$J(u,v,\dots )=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}& \cdots \\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}& \cdots \\ ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right|$$

3. 转换积分区域: 将原积分区域在旧坐标系中的定义转换为新坐标系中的定义。

4. 转换被积函数: 将原被积函数用新坐标系表示。

5. 应用雅可比行列式: 在转换后的积分表达式中，乘以雅可比行列式的绝对值，以修正积分区域的变化：

   $$\int \int ...\int f(x,y,z,...)dxdy...=\int \int ...\int f(x(u,v,...),y(u,v,...),z(u,v,...),...)|J(u,v,...)|dudv...$$

举例说明:

例如，将二重积分 $\int {\int }_R{x}^{2}ydxdy$ 从直角坐标系转换为极坐标系，其中 R 是单位圆。

1. 变换关系: $x=rcos\theta ，y=rsin\theta$

2. 雅可比行列式: $J(r,\theta )=|\partial x/\partial r\partial x/\partial \theta |=|cos\theta -rsin\theta |=r$

3. 积分区域: 原积分区域 R 在极坐标系中对应 r 从 0 到 1， θ 从 0 到 2π。

4. 被积函数: $x^{2}y=(rcos\theta {)}^2\ast (rsin\theta )=r^{3}co{s}^2\theta sin\theta$

5. 应用雅可比行列式:

   $$\int {\int }_R{x}^{2}ydxdy={\int }_{\theta =0}^{2\pi }{\int }_{r=0}^1{r}^{3}co{s}^2\theta sin\theta \ast rdrd\theta$$

   该积分现在可以使用极坐标系进行计算，由于变换后积分区域和被积函数都变得更加简单，积分过程会变得更容易。

总结:

雅可比行列式是进行多元积分变量替换的关键，它反映了新旧坐标系之间的比例关系，保证了积分结果的正确性。通过使用雅可比行列式，我们可以将复杂的多元积分转化为更简单的积分形式，从而简化计算。

$${\iint }_R{x}^{2}ydxdy={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{r}^3{\cos }^2\theta \sin \theta rdrd\theta$$

其中，详细的步骤如下：

1. 原积分：

   $${\iint }_R{x}^{2}ydxdy$$

2. 变量替换后的积分：

   $${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{r}^3{\cos }^2\theta \sin \theta rdrd\theta$$

解析步骤：

1. 变换关系： $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$

2. 雅可比行列式：

   $$J(r,\theta )=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right|=r$$

3. 积分区域： 原积分区域 $R$ 在极坐标系中对应 $r$ 从 $0$ 到 $1$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。

4. 被积函数：

   $$x^{2}y=(r\cos \theta {)}^2(r\sin \theta )=r^3{\cos }^2\theta \sin \theta$$

5. 应用雅可比行列式：

   $${\iint }_R{x}^{2}ydxdy={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{r}^3{\cos }^2\theta \sin \theta rdrd\theta$$