树状数组的入门

树状数组或者二叉索引树也称作Binary Indexed Tree，又叫做Fenwick树；它的查询和修改的时间复杂度都是log(n)，空间复杂度则为O(n)，这是因为树状数组通过将线性结构转化成树状结构，从而进行跳跃式扫描。通常使用在高效的计算数列的前缀和，区间和。

其中a数组就是原数组，c数组则是树状数组，可以发现

C1 = A1
C2 = A1+A2
C3 = A3
C4 = A1+A2+A3+A4
C5 = A5
C6 = A5+A6
C7 = A7
C8 = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8

树状数组可以用来进行：
1，单点刷新和区间查询
2，区间刷新和单点查询

树状数组的写法都是那样的

int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}
void add(int x,int k)
{
    for(int i=x;i<maxn;i+=lowbit(i))
    {
        c[i]+=k;
    }
}
int sum(int x)
{
    int sum = 0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
    {
        sum+=c[i];
    }
    return sum;
}

sum(i)表示前缀和，只要拆分完了 ，sum（i）表示的就是单点的值

附上两道题目

Color the ball

TimeLimit: 9000/3000 MS (Java/Others)  MemoryLimit: 32768/32768 K (Java/Others)

64-bit integer IO format:%I64d

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Problem Description

N个气球排成一排，从左到右依次编号为1,2,3....N.每次给定2个整数a b(a <= b),lele便为骑上他的“小飞鸽"牌电动车从气球a开始到气球b依次给每个气球涂一次颜色。但是N次以后lele已经忘记了第I个气球已经涂过几次颜色了，你能帮他算出每个气球被涂过几次颜色吗？

Input

每个测试实例第一行为一个整数N,(N <= 100000).接下来的N行，每行包括2个整数a b(1 <= a <= b <= N)。 
当N = 0，输入结束。

Output

每个测试实例输出一行，包括N个整数，第I个数代表第I个气球总共被涂色的次数。

SampleInput

3
1 1
2 2
3 3
3
1 1
1 2
1 3
0

SampleOutput

1 1 1
3 2 1

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+10;
int c[maxn];
int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}
void add(int x,int k)
{
    for(int i=x;i<maxn;i+=lowbit(i))
    {
        c[i]+=k;
    }
}
int sum(int x)
{
    int sum = 0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
    {
        sum+=c[i];
    }
    return sum;
}
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)&&n)
    {
        memset(c,0,sizeof(c));
        int a,b;
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            add(a,1);//a向上加1
            add(b+1,-1);//b+1向上减1
             //这样就可以实现区间[a,b]每个数加1
             //拆分过了
        }
        for(int i=1; i<n; i++)
        {
            printf("%d ",sum(i));///拆分过，sum(i)表示单点的值
        }
        printf("%d\n",sum(n));
    }
    return 0;
}

没有拆分过的

CCF第五题

 

除法
时间限制：	10.0s
内存限制：	256.0MB
问题描述：	问题描述 　　小葱喜欢除法，所以他给了你N个数a1, a2, ⋯, aN，并且希望你执行M次操作，每次操作可能有以下两种： 　　给你三个数l, r, v，你需要将al, al+1, ⋯, ar之间所有v的倍数除以v。 　　给你两个数l, r，你需要回答al + al+1 + ⋯ + ar的值是多少。 输入格式 　　第一行两个整数N, M，代表数的个数和操作的次数。 　　接下来一行N个整数，代表N个数一开始的值。 　　接下来M行，每行代表依次操作。每行开始有一个整数opt。如果opt=1，那么接下来有三个数l, r, v，代表这次操作需要将第l个数到第r个数中v的倍数除以v；如果opt = 2，那么接下来有两个数l, r，代表你需要回答第l个数到第r个数的和。 输出格式 　　对于每一次的第二种操作，输出一行代表这次操作所询问的值。 样例输入 5 3 1 2 3 4 5 2 1 5 1 1 3 2 2 1 5 样例输出 15 14 评测用例规模与约定 　　对于30%的评测用例，1 ≤ N, M ≤ 1000； 　　对于另外20%的评测用例，第一种操作中一定有l = r； 　　对于另外20%的评测用例，第一种操作中一定有l = 1 , r = N； 　　对于100%的评测用例，1 ≤ N, M ≤ 105，0 ≤ a1, a2, ⋯, aN ≤ 106, 1 ≤ v ≤ 106, 1 ≤ l ≤ r ≤ N。

 
代码：

/**
正解1
树状数组
**/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define mes(x,a) memset(x,a,sizeof(x));
const int maxn=1e5+5;
int a[maxn],n,m;
ll c[maxn];
int lowbit(int x)
{
    return -x&x;
}
int add(int x,int a)
{
    for(int i=x; i<=n; i+=lowbit(i))
        c[i]+=a;
}
ll sum(int x)
{
    ll ans=0;
    for(int i=x; i>0; i-=lowbit(i))
        ans+=c[i];
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    mes(c,0);
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        add(i,a[i]);
    }
    int q,l,r,v;
    while(m--)
    {
        scanf("%d%d%d",&q,&l,&r);
        if(q==1)
        {
            scanf("%d",&v);
            if(v==1)
                continue ;
            while(l<=r)
            {
                if(a[l]>=v&&a[l]%v==0)
                {
                    add(l,a[l]/v-a[l]);
                    a[l]/=v;
                }
                l++;
            }
        }
        else
            printf("%lld\n",sum(r)-sum(l-1));
    }
    return 0;
}