主定理（时间复杂度计算方式）

Master Theorem

用途

一种用于计算递归时间复杂度的定理。
比如对于一个时间复杂度递推式：$T(n)=T(n/2)+O(n)$,
可以浅显地看出它的复杂度为$O(nlo{g}_{2}n)$,因为我们这样子的递归写了太多次了。
但我们可以看到$T(n)=4T(n/2)+n$,
它的复杂度是多少？也是$O(nlo{g}_{2}n)$？
当在问出这种问题时，我们就会有点束手无策。
所以我们就需要一个定理来把这种问题解决。

定理

对于一个时间复杂度递推式的一般式$T(n)=aT(n/b)+O(n^d)$:
$T(n)=\{\begin{array}{ll}O(n^d)& d>lo{g}_b^a\\ O(n^{d}lo{g}_2^n)& d=lo{g}_b^a\\ O(n^{lo{g}_b^a})& d<lo{g}_b^a\end{array}$

应用

回到一开始的例子：$T(n)=4T(n/2)+n$，
这时$a=4,b=2,d=1$,
所以$lo{g}_b^a=2>d$，则$T(n)=O(n^{lo{g}_b^a})=O(n^2)$.
这个故事告诉我们，
像二分这样的形式不要在里面套太大的常数，
不然真的会爆炸。

我们在给出一个例子：$T(n)=4T(n/2)+n^2$
这时$a=4,b=2,d=2$,
所以$lo{g}_b^a=2=d$，则$T(n)=O(n^{d}lo{g}_2^n)=O(n^{2}lo{g}_2^n)$.

还有一种：$T(n)=4T(n/2)+n^3$
这时$a=4,b=2,d=3$,
所以$lo{g}_b^a=2<d$，则$T(n)=O(n^d)=O(n^3)$.

总的来说就是谁大跟谁，等大加$lo{g}_2^n$.

THE END.