连通性问题
强连通分量
对于一张有向图，对于图中任意两个节点\(x,y\)，\(x\)能到\(y\)，\(y\)也能到\(x\)，则称其为强连通图。有向图的极大联通子图被称为强连通分量，简记为SCC(Strongly Connected Component)。
有时候，我们需要将一张有向图分成几个强连通分量，这时候可以基于Tarjian设计一个算法。
Tarjian求强连通分量
按照Tarjian的惯例，我们需要对整个图进行一次dfs，将图的搜索树求出，设\(dfn_x\)为\(x\)节点最先遍历到的时间戳。
对于一个节点\(x\)来说，如果有一条边连接了它与它搜索树中的祖先\(fa_x\)（不仅是父亲），说明这个点可以与树上\(fa_x\)到\(x\)的路径组成环，而显然地一个环就是一个强连通子图，有助于我们寻找强连通分量。同理，如果有一点\(z\)，它非\(x\)的祖先，但是它存在路径可以到达\(fa_x\)，那连接\(x\)与\(z\)的边也很重要。
Tarjian维护了一个栈，栈中保存了\(x\)节点的祖先\(fa_x\)，与已经访问过，并且存在一条路径到达\(x\)祖先的点。
接下来为了寻找到这些边，我们需要引入追溯值\(low_x\)。追溯值定义为满足以下条件的节点的最小时间戳：
1.该点在栈中。
2.存在一条从以\(x\)为跟的子树内出发指向\(x\)的有向边。
\(low_x\)的计算过程如下：
1.当节点\(x\)第一次访问时，将\(x\)入栈，并初始化\(low_x=dfn_x\).
2.遍历从\(x\)出发的每条边\((x,y)\):
(1).如果\(y\)未被访问，则\(y\)为\(x\)的子树内节点，它的追溯值可以更新\(low_x\)，所以访问\(y\)，回溯后令\(low_x=min(low_x,low_y)\)。
(2).若\(y\)被访问并且在栈内，则说明\(x\)可以到达这个节点后在回到自己，根据定义可以使\(low_x=min(low_x,dfn_y)\)。
下面我们来看一看如何分割强连通分量：
判定法则很简单：\(low_x=dfn_x\)，则此时栈中从\(x\)到栈顶的所有节点构成一个强连通分量。
如果\(low_x=dfn_x\)，那么说明\(x\)的子树内节点不能到达比\(x\)更早的节点再回到\(x\)（指时间戳更小），所以能形成的最大的强连通分量最大只包含了\(x\)。
以上便是\(Tarjian\)求强连通分量的主要流程。
实现
我们可以设\(ins_x=1\)表示\(x\)此刻是否在栈中，只在遍历边\((x,y)\)时\(y\)被访问过且\(ins_y=1\)时才将\(low_x\)更新为\(min(low_x,dfn_y)\)，代表\(x\)可以去到\(y\)在回来。
接下来是tarjian代码：
int dfn[maxn],low[maxn],num;
int sta[maxn],top;
int ins[maxn],cou[maxn],cnt
void tarjian(int now) {
dfn[now]=low[now]=++num;
sta[++top]=now; ins[now]=1;
for(int i=head[now];i;i=nex[i]) {
int st=to[i];
if(!dfn[st]) {
tarjian(st);
low[now]=min(low[now],low[st]);
}
else if(ins[st]) low[now]=min(low[now],dfn[st]);
}
if(dfn[now]==low[now]) {
int x; cnt++;
do {
x=sta[top--];
ins[x]=0;
cou[x]=cnt;
} while(x!=now);
}
}
割边&边双连通分量
Tarjian求割边：
对于图中的一条边，如果将该边删去后图的连通性遭到破坏，则称改变为该图的割边。
我们现在来阐述一下这种情况下的追溯值\(low_x\)定义中需要满足的条件：
1.节点在搜索树中以\(x\)为根的子树内。
2.通过一条不在搜索树上的边，可以到达以\(x\)为根的子树内的节点。
搜索过程中\(low_x\)的计算过程如下：
对于一条边\((x,y)\)
1.若\(x\)为搜索树上\(y\)的父节点，则\(low_x=min(low_x,low_y)\)。
2.若无向边不是搜索树上的边，则\(low_x=min(low_x,dfn_y)\)>
接下来是割边的判定法则：对于搜索树上的一个节点\(x\)的子节点\(y\)，如果满足\(dfn_x<low_y\)，则可以说边\((x,y)\)为一条割边。
根据定义，如果\(dfn_x<low_y\)，则说明从\(y\)的子树内出发，不经过边\((x,y)\)无法到达点\(x\)，所以如果把边\((x,y)\)删除，图将被分成两个部分，满足了割边的定义。反之则\((x,y)\)显然不为割边。
求割边实现：
注意，我们在一个点\(x\)时自然会有一条来边，此边就为\(x\)点不能讨论的搜索树上的边，我们可以递归时带上一条来边，判断反边即可。
如何判断一条边是另一条边的反边？我们可以在使用邻接表存图时将边的编号从2开始，将一条边与其反边先后存储，我们就会发现此时一条边的编号异或上1就为它的反边编号。比如2边异或上1后为3，3异或上1后为2。
下面是求割边的Tarjian代码实现：
int dfn[maxn],low[maxn],cnt;
bool bj[maxn];//是否为桥
void tarjian(int now,int in) {
dfn[now]=low[now]=++cnt;
for(int i=head[now];i;i=nex[i]) {
int st=to[i];
if(!dfn[st]) {
tarjian(st,i);
low[now]=min(low[now],low[st]);
if(low[st]>dfn[now]) bj[i]=true,bj[i^1]=true;
}
else if(i!=(in^1)) low[now]=min(low[now],dfn[st]);
}
}
求边双连通分量：
对于一张图，如果它不存在割边，我们就可以说它为一个边双连通图，边双连通分量就为一张图内的一个极大边双连通子图。
我们可以发现，根据定义，边双连通分量不包含任何割边，那么显然我们可以先将割边删去，整张图会被分割为几个子图，每个子图其实就是一个边双连通分量。
下面我们使用\(c_x\)表示\(x\)点属于第几个边双。
int c[maxn],num;
void dfs(int now,int fa) {
c[now]=num;
for(int i=head[now];i;i=nex[i]) {
int st=to[i];
if(c[st] || bj[i]) continue;
dfs(st,now);
}
}
割点
Tarjian求割点：
如果图中一个点，将其与与其相连的所有边删去后，整张图的连通性遭到破坏，则称这个点为割点。
追溯值计算方式类似割边的Tarjian，不同的是判定法则：\(x\)为割点当且仅当存在搜索树上一个\(x\)的子节点\(y\)，使得\(dfn_x<=low_y\)，道理也是类似的。
不过要注意如果\(x\)为搜索树的根节点，则\(x\)为割点当且仅当至少存在两个节点满足上述条件。
同时因为要求小于等于，所以不用讨论父节点之类的问题，直接上就是了。
求割点实现：
int dfn[maxn],low[maxn],cnt,num;
bool cut[maxn];
int root;
void tarjian(int now) {
dfn[now]=low[now]=++cnt;
int flag=0;
for(int i=head[now];i;i=nex[i]) {
int st=to[i];
if(!dfn[st]) {
tarjian(st);
low[now]=min(low[now],low[st]);
if(low[st]>=dfn[now]) {
flag++;
if(now!=root || flag>1) cut[now]=true;
}
}
else low[now]=min(low[now],dfn[st]);
}
}
求点双连通分量：
一个节点只会在一个边双之中出现，但不同地，一个割点不只会在一个点双中出现。
为了求出点双，我们需要在求割点过程中维护一个栈。当一个节点被第一次访问时，将该点假如栈；当割点判定法则成立时，无论该点\(x\)是否为根节点，都需要从栈顶不断弹出节点，直至子节点\(y\)被弹出，然后所有被弹出的节点与\(x\)一起构成一个点双。
下面是加入了求点双的tarjian代码：
void tarjian(int now) {
dfn[now]=low[now]=++num;
stack[++top]=now;
for(int i=head[now];i;i=nex[i]) {
int st=to[i];
if(!dfn[st]) {
tarjian(st);
low[now]=min(low[now],low[st]);
if(low[st]>=dfn[now]) {
cnt++;int x;
do {
x=stack[top--];
add2(x,cnt),add2(cnt,x);
} while(x!=st);
add2(now,cnt),add2(cnt,now);
}
}
else low[now]=min(low[now],dfn[st]);
}
}
