【统计学笔记】正态概率图与Q-Q图

概述

正态概率图是Q-Q图的一种，Q-Q图全称Quantile-Quantile图，借助Q-Q图可以检验数据的分布情况。

Q-Q图比较的是实际数据的分布情况与理论的偏差，正态概率图是Q-Q图的一种，其比较的是实际数据与正态分布理论点的偏差情况。

正态概率图的原理

假设现在需要从一个正态分布中抽样出9个点，最理想的情况下（理论情况下）抽样得到的9个点会将正态分布按照其累积概率进行10等分，获得如下图所示的分布情况，各个颜色块的面积是相等的。（这9个将概率分布平均分为10份的点，称之为十分位数，第一个点为第一十分位数，第二个为第二十分位数，以此类推）

通过对比抽样得到数值与这9个十分位数的分布情况，就可以确定数据是否符合正态分布。为了清晰观察抽样数据与理想分布之间的偏差情况。引入正态概率纸，其纵坐标为累积概率，是非等距刻度，横坐标为分位数或数值，为等距刻度。

正态概率纸让理论分位数（作横坐标）与对应的累积概率（作纵坐标）全部落在一条直线上，通过绘制抽样点在概率纸上的实际位置，观察其偏离直线的程度，就可以判断抽样数据是否符合正态分布了。

 根据十分位数的性质，根据下式可以方便的计算得到各分位数的累积概率（CDF），式中k代表分位数的次序，n代表分为数的个数。

比如第一十分位数的累积概率为

（9个十分位数将概率分布曲线积分区域（总大小为1）进行了10等分，所以负无穷到第一个点之间的面积大小为0.1）

但统计学家认为在抽样较少的情况下，抽样点按照分位数等概率间隔的出现是不合理的，实际情况应该是分布在两端的数据被抽到的概率非常小，中间抽到的概率比较高，于是给出了一些分位点位置的调整方案，比如以下几种。

 以上的方案可以利用下式统一进行表示

算例

假设我们实际抽样的9个点分别为11、15、18、27、29、35、42、46、55

计算得到这9个点的平均值为30.89，标准差为14.93

以a的取值为0.3为例，对各理论分位数、理论累积概率CDF、理论z值、理论值等进行计算。

（tips：z值可以理解为，将数据转化为标准正态分布后对应的点，即在标准正态分布中满足累积概率的数值）

首先是理论值的计算：

当a值取0.3时，分位数理论累积概率CDF的计算公式为：

于是第一个分位数的理论CDF为：

理论z值的计算公式为：

式中的代表正态分布的累积分布函数的反函数，作用是求出在正态分布中满足累积概率的数值。（即：概率分布函数从负无穷到该点的积分的大小为CDF）

通过Excel中的NORM.S.INV()函数可以方便的求出理论z值(以第一个分位数的z值计算为例)。

NORM.S.INV(0.0745)=-1.443

理论值的计算公式为：

式中为抽样数据的平均值，为抽样数据的标准差，因此计算得到第一个分位数的理论值为：

30.89+(-1.443)*14.93=9.343

(tips：理论值可以理解为将z值从标准正态分布还原到抽样数据可能服从的正态分布下的数值)

最后，根据实际值，可以计算出实际z值，其计算公式为：

因此，可以算得第一个分位数的实际z值为：

同样的可以完成剩余其他8个点的计算，计算结果如下：

 然后，就可以开始绘制正态概率图了，以理论CDF和理论值为纵坐标和横坐标绘制得到理论正态分布的概率图，为一条倾斜向上的直线。

以理论CDF和实际值为纵坐标和横坐标，在上图中标注出实际数据的分布情况，得到下图。

最后，将理论数据的点移除，仅保留穿过理论点的直线和实际点，就可以得到我们平时所看到的正态概率图了。 

 以此类推，将上图的纵坐标和横坐标选择为其他变量，我们就可以得到其他不同的Q-Q图，比如：实际z值-理论z值、实际值-理论z值等。

Q-Q图的使用

根据实际点在Q-Q图中的分布形态可以推断数据的实际分布情况，具体示例可以参看下图。

 参考链接

统计学与质量035 - 正态概率图 Q-Q分位数图 （Quantile- Quantile Plot）_哔哩哔哩_bilibili

Normal Quantile-Quantile Plots——QQplot_哔哩哔哩_bilibili

QQplot的详细解释 - 知乎

正态分布_百度百科

分位数_百度百科

概率密度函数_百度百科

累积分布函数_百度百科

累积概率_百度百科