bzoj3437

斜率优化

斜率优化是指对于dp[i]=max/min(dp[j]+a[i]*b[j]+c[j])这样的方程的优化

-a[i]*b[j]+dp[i]=dp[j]+c[j]

把b[j]看成x，dp[j]+c[j]看成y

-a[i]=k dp[i]=b

这就是一次函数的形式，可以看成用斜率为-a[i]的直线交(x,y)，dp就是截距

对于最大值，我们自然希望截距大，那么就是上凸壳，否则就是下凸壳

当(x,y)中x单调且-a[i]单调的时候我们可以用队列维护凸壳，因为x单调所以我们可以直接在队尾添加点，又因为-a[i]单调所以每次选的决策肯定是单调的

如果-a[i]不单调那么我们就得在凸壳上二分

如果x不单调，那么我们就得用cdq或者splay

这道题的dp式是dp[i]=dp[j]+(s2[i]-s2[j])*i-(s1[i]-s1[j])+a[i]

s2是b[i]的前缀和，s1[i]是b[i]*i的前缀和

那么把只和i有关的去掉

s2[j]*i+dp[i]=dp[j]+s1[j]

s2[j]递增 i递增

由于要最小值，维护下凸壳

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6 + 5;
int n;
ll a[N], b[N], s1[N], s2[N], dp[N];
int q[N];
double slope(int i, int j) 
{
    return (double)(dp[i] - dp[j] + s1[i] - s1[j]) / (double)(s2[i] - s2[j]);
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld", &b[i]), s1[i] = s1[i - 1] + b[i] * i, s2[i] = s2[i - 1] + b[i];
    int l = 1, r = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) 
    {
        while(l < r && slope(q[l], q[l + 1]) <= i) ++l;
        dp[i] = dp[q[l]] + (s2[i] - s2[q[l]]) * i - (s1[i] - s1[q[l]]) + a[i];
        while(l < r && slope(q[r], i) <= slope(q[r], q[r - 1])) --r;
        q[++r] = i;
    }
    printf("%lld\n", dp[n]);
    return 0;
}