bzoj2839

容斥原理+组合数学

看见这种恰有k个的题一般都是容斥原理，因为恰有的限制比较强，一般需要复杂度较高的方法枚举，而容斥就是转化为至少有k个，然后通过容斥原理解决

我们先选出k个元素作为交集，有C(n,k)种可能，那么剩下的n-k个元素既可以选也可以不选，一共有2^(n-k)种选法，每种选法对应了一个集合，也就是说一共有2^(n-k)种不同的集合，我们希望在这n-k个元素中选出若干个集合，使他们的交集为空，于是我们枚举选多少个元素，i=0->n-k,这样有C(n-k,i)种选法，然后我们使用容斥原理来计算i个元素交集为空集的集合数量，对于给定元素交集大小至少为i的情况，我们可以跟刚才一样先选出i个元素作为交集，方案数同上，然后方案数是2^(2^(n-i-k))-1，因为我们有2^(n-i-k)个集合，每个集合可以选或不选，因为已经选出i个元素作为交集，所以交集大小至少是i，其他的集合随便选就满足至少是i

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1000010, mod = 1000000007;
int n, k;
ll ans, pw = 2;
ll inv[N], fac[N], facinv[N];
ll C(int n, int k)
{
    return fac[n] * facinv[k] % mod * facinv[n - k] % mod;
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    inv[0] = inv[1] = fac[0] = fac[1] = facinv[1] = facinv[0] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        fac[i] = fac[i - 1] * (ll)i % mod;
        inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
        facinv[i] = facinv[i - 1] * inv[i] % mod;
    }
    for(int i = n - k; i >= 0; --i) 
    {
        ans = (((ans + ((i & 1) ? -1 : 1) * C(n - k, i) * ((pw - 1) % mod + mod) % mod) % mod) % mod + mod) % mod;
        pw = pw * pw % mod;     
    }   
    ans = ((ans * C(n, k) % mod) % mod + mod) % mod;
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}