Codeforces 1264D

组合数学

假设当前枚举到了位置$i$

$a$ : $i$之前的$($
$b$ : $i$之后的$)$
$c$ : $i$之前的$?$
$d$ : $i$之后的$?$

那么当前位置对于答案的贡献是

$$\sum{a + i \leqslant b + j}{\tbinom{c}{i} \tbinom{d}{j}}$$

这里的i和j分别表示填了$i$个$($,填了$j$个$)$

这个式子很巧妙，$a + i$ 表示最终答案配对的括号个数，相当于计算了当前这个位置的$($对答案的贡献

然后考虑化简

$$=\sum_{a + i \leqslant b + d - j}{\tbinom{c}{i} \tbinom{d}{d - j}}$$

$$=\sum_{x = 0}^{b + d - a}{\tbinom{c + d}{x}}$$

由于$c + d$只会有两种取值，预处理即可

复杂度$O(n)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int P = 998244353;
int main() {
    string s;
    cin >> s;
    int n = s.size();
    vector<int> inv(n + 1), facinv(n + 1), fac(n + 1);
    fac[0] = inv[1] = facinv[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        if(i != 1) {
            inv[i] = 1LL * (P - P / i) * inv[P % i] % P;
        }
        facinv[i] = 1LL * facinv[i - 1] * inv[i] % P;
        fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * i % P;
    }
    int a = 0, b = 0, c = 0, d = 0;
    for(auto e : s) {
        if(e == ')') {
            ++b;
        }
        if(e == '?') {
            ++d;
        }
    }
    map<int, vector<int> > dp;
    auto C = [&] (int n, int m) {
        if(n < m) return 0;
        if(dp.find(n) != dp.end()) {
            return dp[n][m];
        }
        auto &tmp = dp[n];
        int sum = 0;
        tmp.resize(n + 1);
        for(int i = 0; i <= n; ++i) {
            sum += 1LL * fac[n] * facinv[i] % P * facinv[n - i] % P;
            sum %= P;
            tmp[i] = sum;
        }
        return tmp[m];
    };
    auto calc = [&] (int a, int b, int c, int d) {
        int x = min(b + d - a, c + d);
        if(x < 0) return 0;
        return C(c + d, x);
    };
    int ans = 0;
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        if(s[i] == '(') {
            ++a;
        }
        if(s[i] == ')') {
            --b;
        }
        if(s[i] == '?') {
            ++c;
            --d;
        }
        if(s[i] == '(') {
            ans += calc(a, b, c, d);
            ans %= P;
        }
        if(s[i] == '?') {
            ++a;
            --c;
            ans += calc(a, b, c, d);
            ans %= P;
            --a;
            ++c;
        }
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}