2023.01.14 欧洲信息学竞赛题目选讲 学习笔记

讲课人：钟诚。

WC2023 Day2 下午的课。

来放放松。

1.QOJ#5430. Triangeltal

将所有 $a_i$ 从小到大排序后，可以用调整法说明如果有解，存在一种取三段连续区间的解。假设选的三段分别是 $[1,x],[x+1,y],[y+1,n]$。枚举 $y$，一种情况是 $a_x\le y-x,a_y\le n-y,a_n\le x$，可以发现 $x=a_n$ 时最优；另一种情况是 $a_x\le n-y,a_n\le y-x,a_y\le x$，可以发现 $x=a_y$ 时最优。

时间复杂度 $O(n)$，空间复杂度 $O(n)$。

2.Gym104230C Toy Design

假设我们已经有 $i$ 个设计，其中第 $j(0\le j\le i)$ 个设计中前 $j$ 个引脚连通，且相比 $0$ 号设计多的边都只在前 $j$ 个引脚之间。现在考虑第 $i+1$ 个引脚，询问第 $i+1$ 个引脚和第 $j$ 个设计中 $1$ 号引脚会得到在 $0$ 号设计中第 $i+1$ 个引脚和第 $1\sim j$ 个引脚是否连通，于是可以通过二分在 $\lceil\log_2 (i+1)\rceil$ 次询问内得到在 $0$ 号设计中 $1\sim i$ 中和 $i+1$ 连通的最小编号（或不存在），并且一定会新得到一个设计满足前 $i+1$ 个引脚连通，且相比 $0$ 号设计多的边都只在前 $i+1$ 个引脚之间。

询问次数为 $\sum_{i=1}^n\lceil\log_2 i\rceil$。

3.QOJ#4208. Flight to the Ford

时刻维护两个集合 $T^{corr}$ 和 $T^{wrong}$，表示最后一次询问得到答案在 $T^{corr}$ 中、不在 $T^{wrong}$ 中，可能成为答案的集合。初始时 $T^{corr}=[1,10^9],T^{wrong}=\emptyset$。之后每次找一个集合 $P\subseteq T^{corr} \cup T^{wrong}$，如果要猜的数在 $P$ 中，则传递 $1$，否则传递 $0$。如果收到 $1$ 则让 $T'^{corr}=(T^{corr}\cap P)\cup(T^{wrong}\cap P)$，$T'^{wrong}=T^{corr}\setminus P$；如果收到 $0$ 则让 $T'^{corr}=(T^{corr}\setminus P)\cup(T^{wrong}\setminus P)$，$T'^{wrong}=T^{corr}\cap P$。可以发现这样正确答案一定会留在 $T^{corr}\cup T^{wrong}$ 中。为了每次尽可能稳定地减小 $|T^{corr}\cup T^{wrong}|$，取 $P=(T^{corr}$ 一半的元素$)\cup(T^{wrong}$ 一半的元素$)$，经计算 $96$ 次以内可以把 $|T^{corr}\cup T^{wrong}|$ 缩减为 $3$，之后将三个数编码为 $0000,0110,1111$ 再传递 $4$ 次即可。

4.QOJ#193. Climbers

设 $f(i,j)$ 表示一个人在 $i$ 另一个人在 $[j,j+1)$ 的最小体力值，考虑每个人往左或往右走，每个点只会连出 $O(1)$ 条边，直接跑最短路。

时间复杂度 $O(n^2\log n)$，空间复杂度 $O(n^2)$。

5.LOJ#3884. 「eJOI2022」寻找树根 / Where Is the Root?

称度数为 $1$ 的节点为叶节点，度数 $>1$ 的节点为中间节点。一种暴力的想法是，询问所有点对，对于一个点 $u$ 如果在所有询问 $(u,i)(1\le i\le n)$ 中都返回了 YES，那就称其为候选节点，可以发现根一定是候选节点。如果恰好有一个候选节点，那么它就是根。

否则，有结论：如果有多个候选节点，那么根节点一定是叶节点！这是因为如果根节点度数 $>1$，根的所有子树里都不可能有候选节点。

又有结论：不是根的候选节点全是中间节点！这是因为存在点度数至少为 $3$，说明有至少 $3$ 个叶节点，而对于任意两个不是根的叶节点返回的都是 NO。

所以如果有不止一个候选节点，那么根就是所有叶节点中唯一一个候选节点。

现在考虑先询问一次所有叶节点，于是可以知道根节点是否是叶节点。如果是中间节点，可以给中间节点一个顺序，每次二分询问一段前缀和所有叶节点，它们的 LCA 一定是根节点；如果是叶节点，可以给叶节点一个顺序，每次二分询问一段前缀，它们的 LCA 只可能是中间节点或根节点（注意只剩两个叶节点时需要一些特判）。一共需要 $\lceil\log_2 n\rceil+1$ 次。

考虑给所有节点一个顺序，使得叶节点都在中间节点的前面。每次二分询问一段前缀，由以上两种情况可以发现返回 YES 当且仅当根节点在这些前缀中，再特判一下只剩两个叶节点时情况即可。询问次数降到了 $\lceil\log_2 n\rceil$ 次。

6.QOJ#4401. Prize

没讲。

7.Gym103806B MCD

问 $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ 可以知道 $x,y$ 二进制下的最低位，在此基础上问 $(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)$ 加上之前得出的最低位可以知道 $x,y$ 二进制下的第二低位，以此类推。这样最坏要 $4\log n=244$ 次，如果随机打乱一下期望要问 $\frac{1+2+3+4}{4}\log n=2.5\log n=152.5$ 次。

其实除了最低位外其余位根本不需要再问一次 $(0,0)$ 加上之前得到的结果，也就是说期望总次数可以降到 $1+\frac{0+1+2+3}{4}\log n=1+1.5\log n=92.5$ 次。

8.[First Round SOI 2021/2022]Claw Sort

没讲。