CF1740F Conditional Mix 题解

首先若可重集内元素个数不满 \(n\) 个，可以通过补 \(0\) 补到 \(n\) 个。同时我们发现，对于可重集内两个集合 \(i,j\)，若集合大小分别为 \(M_i\) 和 \(M_j\) 且 \(M_i>M_j\)，则 \(i\) 中存在一个数可以取出放入 \(j\) 中。也就是说对于两个可重集 \(M,N\)，如果对于 \(\forall 1\le k\le n\) 都有 \(\sum_{i=1}^k M_i\ge\sum_{i=1}^k N_i\)，那么若 \(M\) 能被表示出来则 \(N\) 也可以被表示。

那么 \(\sum_{i=1}^k M_i\) 的上界是多少呢？对于出现次数小于 \(k\) 的数，肯定是可以都选的；对于出现次数大等于 \(k\) 的数，至多只能选 \(k\) 个。所以假设 \(cnt_i\) 表示 \(i\) 出现的次数，那么 \(\sum_{i=1}^k M_i\le\sum_{i=1}^n \min(k,cnt_i)\)，同时不难构造出一个可重集 \(M\) 使得等号都成立，因此问题转化为求满足该条件的集合有多少个。

从大到小选数。设 \(f_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 个，和为 \(j\)，已选的最小的数为 \(k\)，转移可以用前缀和优化至 \(O(1)\)。同时注意到第一维可以滚动掉，且 \(k\le\frac{n}{i}\)，那么总时间复杂度就是 \(O(n^2\ln n)\) 的，空间复杂度 \(O(n^2)\)。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 998244353
using namespace std;
int n,i0=0,i1=1;
int a[2002],cnt[2002],sum[2002];
int f[2][2002][2002];
inline bool cmp(int x,int y)
{
	return x>y;
}
inline void upd(int &x,int y)
{
	if((x+=y)>=mod)x-=mod;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]),++cnt[a[i]];
	sort(cnt+1,cnt+n+1,cmp);
	for(int i=0;i<=n;++i)for(int j=f[0][0][i]=1;j<=n;++j)sum[i]+=min(i,cnt[j]);
	for(int i=1,u;i<=n;++i,i0^=1,i1^=1)
	{
		u=n/i;
		for(int j=0;j<=sum[i];++j)f[i1][j][u+1]=0;
		for(int k=u;~k;--k)for(int j=0;j<=sum[i];++j)upd(f[i1][j][k]=(j>=k? f[i0][j-k][k]:0),f[i1][j][k+1]);
	}
	return 0&printf("%d",f[i0][n][0]);
}