不等式证明——pqr法学习笔记

前置知识：舒尔不等式。

\(pqr\) 法的主要思路是针对三元齐次对称不等式，将其全部转化成关于 \(pqr\) 的式子，其中 \(p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc\)。

对于每一个能取到的 \(p\) 与 \(q\)，我们都可以把式子转化成关于 \(r\) 的函数，当次数是 \(4,5\) 次时可以看做是关于 \(r\) 的一次函数，当次数是 \(6,7,8\) 时可以看做是关于 \(r\) 的二次函数，这样最值一定在\(r\)的最值时取到，我们只要讨论 \(r\) 的最值即可。

1. 当三元不等式转化成关于 \(r\) 的一次函数的时候，\(r\) 的最值一定在原三数存在一数为 \(0\) 或者两数相等的时候取到。（证明）

2. 当三元不等式转化成关于 \(r\) 的二次函数的时候，我们只需考虑此二次函数的开口和对称正负便可判断 \(r\) 在何处取到最值。

下面是 \(6\) 次和 \(6\) 次以下对称式和 \(pqr\) 之间的转化：