算法与数据结构——计数排序

计数排序

计数排序（counting sort）通过统计元素数量来实现排序，通常应用于整数数组。

简单实现

给定一个长度为n的数组nums，其中的元素都是“非负整数”，计数排序的整体流程如下：

1. 遍历数组，找出其中最大的数组，记为m，然后创建一个长度为 m+1 的辅助数组counter。
2. 借助counter统计nums中各数字的出现次数，其中counter[num]对应数字num的出现次数。统计方法很简单，只需遍历nums，每轮将counter[num]增加1即可。
3. 由于counter的各个索引天然有序，因此相当于所有数字已经排好序了。接下来，遍历counter，根据各数组出现次数从小到大的顺序填入nums即可。

/* 计数排序 */
// 简单排序，无法用于排序对象
void countingSortNative(vector<int> &nums){
	// 1. 统计数组最大元素 m
	int m = 0;
	for (int num : nums){
		m = m > num ? m : num;
	}
	// 2. 统计各数字的出现次数
	// counter[num] 代表 num 的出现次数
	vector<int> counter(m + 1);
	for (int num : nums){
		counter[num]++;
	}
	// 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
	int i = 0;
	for (int num = 0; num < m + 1; num++){
		for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++){
			nums[i] = num;
		}
	}
}

计数排序与桶排序的联系
从桶排序的角度看，我们可以将计数数组counter的每一个索引视为一个桶，将统计数量的过程看作各个元素分配到对应的桶中。本质上，计数排序是桶排序在整数类型数据下的一个特例。

完整实现

当输入数据是对象时，上述步骤3.就失效了。假设输入数据时商品对象，我们想按照商品价格（类的成员变量）对商品进行；排序，而上述算法只能给出价格的排序结果。

如何才能得到原数据的排序结果呢？我们首先计算counter的“前缀和”。顾名思义，索引i处的前缀和prefix[i]等于数组前i个元素之和：

前缀和具有明确的意义，prefix[num] - 1代表元素num在结果数组res中最后一次出现的索引。这个信息非常关键，因为它告诉我们各个元素应该出现在结果数组的哪个位置。接下来，我们倒序遍历原数组nums的每个元素num,在每轮迭代中执行以下两步。

1. 将num填入数组res的索引prefix[num] - 1处。
2. 令前缀和prefix[num]减小1，从而得到下次放置num的索引。

遍历完成后，数组res中就是排序好的结果，最后使用res覆盖原数组nums即可。

/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
void countingSort(vector<int> &nums){
	// 1. 统计数组最大元素
	int m = 0;
	for (int num : nums){
		m = m > num ? m : num;
	}
	// 2. 统计各个数字的出现次数
	// counter[num] 代表num的出现次数
	vector<int> counter(m + 1);
	for (int num : nums){
		counter[num]++;
	}
	// 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
	// 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
	for (int i = 0; i < counter.size() - 1; ++i){
		counter[i + 1] += counter[i];
	}
	// 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
	// 初始化数组 res 用于记录结果
	int n = nums.size();
	vector<int> res(n);
	for (int i = n - 1; i >= 0; --i){
		int num = nums[i];
		res[counter[num] - 1] = num;
		counter[num]--;
	}
	nums = res;
}

算法特性

• 时间复杂度为O(n+m)：涉及遍历nums和遍历counter，都使用线性时间。一半情况下𝑛 ≫ m，时间复杂度趋于O(n)。
• 空间复杂度为O(n+m)、非原地排序：借助了长度分别为n和m的数组res和counter。
• 稳定排序：由于向res中填充元素的顺序是“从右向左”的，因此倒序遍历数组可以避免改变相等元素之间的相对位置，从而实现稳定排序。实际上，正序遍历nums也可以得到正确的排序结果，但结果是非稳定的。

局限性

计数排序使用的前置条件相对较为严格。

计数排序只适用于非负整数。若想将其用于其他类型的数据，需要确保这些数据可以转换为非负整数，并且在转换过程中不能改变各个元素之间的相对大小关系。例如，对于包含负数的整数数组，可以先给所有数字加上一个常数，将全部数字转化为正数，排序完成后再转换回去。

计数排序适用于数据量大但数据范围较小的情况。比如在上述示例中m不能太大，否则会占用过多空间。而当n<<m时，计数排序使用O(m)时间，可能比O(nlogn)的排序算法还要慢。