算法与数据结构——堆排序

堆排序

堆排序（heap sort）是一种基于堆数据结构实现的高效排序算法。我们可以利用已经学过的“建堆操作”和“元素出堆操作”实现堆排序。

• 输入数组并建立小顶堆，此时最小元素位于堆顶。
• 不断执行出堆操作，依次记录出堆元素，即可得到从小到大排序的序列。

以上方法虽然可行，但需借助一个额外数组来保存弹出的元素，比较浪费空间。在实际中，我们通常使用一种更加优雅的实现方式。

算法流程

设数组长度为n，对排序流程如下所示。

1. 输入数组并建立大顶堆。完成后，最大元素位于堆顶。
2. 将堆顶元素（第一个元素）与堆底元素（最后一个元素）交换。完成交换后，堆的长度减1，已排序元素数量加1。
3. 从堆顶元素开始，从顶至底执行堆化操作（sift down）。完成堆化后，堆的性质得到修复。
4. 循环执行第2.步和第3.步。循环n-1轮后，即可完成数组排序。

在代码实现中，我们使用了与“堆”相同的从顶至底堆化sift_down()函数。值得注意的是，由于堆的长度会随着提取最大元素而减小，因此我们需要给sift_down()函数添加一个长度参数n，用于指定堆的当前有效长度。

#include "iostream"
#include "vector"
using namespace std;
/*从顶至底堆化*/
void sift_down(vector<int> &nums, int n, int i){
	while (true){
		// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
		int l = 2 * i + 1;
		int r = 2 * i + 2;
		int ma = i;
		if (l < n  && nums[l] > nums[ma]){
			ma = l;
		}
		if (r < n &&nums[r] > nums[ma]){
			ma = r;
		}
		// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
		if (ma == i) break;
		// 交换两节点
		swap(nums[i], nums[ma]);
		// 循环向下堆化
		i = ma;
	}
	
}
/*堆排序*/
void heap_sort(vector<int> &nums){
	// 建堆操作：堆化除叶节点之外的其他所有节点
	for (int i = nums.size() / 2 - 1; i >= 0; --i){
		sift_down(nums, nums.size(), i);
	}
	// 从堆中提取最大元素，循环 n - 1 轮
	for (int i = nums.size() - 1; i > 0; --i){
		// 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
		swap(nums[0], nums[i]);
		// 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
		sift_down(nums, i, 0);
	}
}
int main(){
	vector<int> nums = { 12, 33, 5, 4, 66, 7, 2 };
	heap_sort(nums);
	for (int num : nums){
		cout << num << " ";
	}
	cout << endl;

	system("pause");
	return 0;
}

算法特性

• 时间复杂度为O(nlogn)、非自适应排序：建堆操作使用O(n)时间。从堆中提取最大元素的时间复杂度为O(logn)，总共循环n-1轮。
• 空间复杂度为O(1)、原地排序：几个指针变量使用O(1)空间。元素交换和堆化操作都是在原数组上进行的。
• 非稳定排序：在交换堆顶元素和堆底元素时，相等元素的相对位置可能发生变化。