求最大公约数（最大公因数）—— 欧几里得算法

求最大公因数

求两数的最大公因数通常的做法是对两个数因式分解，找出共同的素数，然后求出最大公因数（GCD）。但是当数字越大时，因式分解就越困难，此时，使用欧几里得算法就能高效求出其最大公因数。

欧几里得算法

欧几里得算法（又称辗转相除法）用于计算两个数的最大公因数，被称为是世界上最古老的算法。

基本思想

两个正整数a和b,它们的最大公约数（gcd(a,b)）与b和a除以b得到的余数的最大公约数（gcd(b,a%b)）相同。

通过不断用较小的数替换较大的数，并取余数，最终在余数为0时找到最大公约数。

举例说明

以求1112与695这两个数的最大公约数为例：

• 首先用较大的数字除以较小的数字，求出余数，也就是堆两个数字进行模运算。得到余数417
  

• 接下来再用除数695和余数417进行模运算，结果为278。
  

• 继续进行同样的操作，对417和278作模运算，结果为139。
  

• 对278和139作模运算，结果为0，也就是说278可以被139整除。
  

• 余数为0时，最后一次运算中的除数139就是1112和695的最大公约数。
  

算法实现

#include "iostream"
using namespace std;
/*欧几里得算法—求最大公约数—迭代实现*/
int gcd(int a, int b){
	while (b != 0){
		int tmp = a;
		a = b;
		b = tmp % b;
	}
	return a;
}
/*欧几里得算法—求最大公约数—递归实现*/
int gcd_dg(int a, int b){
	return b == 0 ? a : gcd_dg(b, a % b);
}

int main(){
	cout << gcd(1112, 695) << endl;
	cout << gcd_dg(1112, 695) << endl;
	system("pause");
	return 0;
}