算法与数据结构——二分查找插入点，查找边界

二分查找插入点

二分查找不仅可用于搜索目标元素，还可以解决许多变种问题，比如搜索目标元素的插入位置。

无重复元素情况#

Question
给定一个长度为n的有序数组nums和一个元素target，数组不存在重复元素。现将target插入数组nums中，并保持其有序性。若数组中已存在元素target，则插入到其左方。请返回插入后target在数组中的索引。

问题一：当数组中包含target时，插入点的索引是否就是该元素的索引？

题目要求将target插入到相等元素的左边，这意味着插入的target替换了原来target的位置。也就是说，当数组包含target时，插入点的索引就是该target的索引。

问题二：当数组中不存在target时，插入点是哪个元素的索引？

进一步思考二分查找过程（m为中点索引）：当nums[m] < target时，这意味着指针i在向大于等于target的元素靠近。同理，指针j始终在向小于等于target的元素靠近。
因此二分结束时一定有：i指向首个大于target的元素，j指向首个小于target的元素。易得当数组不包含target时，插入索引为i。

代码示例如下：

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/*二分查找插入点（无重复元素）*/
int binarySearchInsertionSimple(vector<int> &nums, int target){
	int i = 0, j = nums.size() - 1;
	while (i <= j){
		int m = i + (j - i) / 2;
		if (nums[m] < target)
			i = m + 1;
		else if (nums[m] > target)
			j = m - 1;
		else
			return m;  // 找到target 返回插入点 m
	}
	return i;			// 未找到 target，返回插入点 i
}

存在重复元素的情况#

假设数组中存在多个target，则普通二分查找只能返回其中一个target的索引，而无法确定该元素的左边和右边还有多少个target。

题目要求将目标元素插入到最左边，所以我们需要查找数组中最左一个target的索引。

实现步骤：

1. 执行二分查找，得到任意一个target索引，记为k。
2. 从索引k开始，向左进行线性遍历，当找到最左边的target时返回。
   

此方法虽然可用，但其包含线性查找，因此时间复杂度为O(n)。当数组中存在很多重复的target时，该方法效率很低。

现考虑拓展二分查找代码。如图所示，整体流程保持不变，每轮现计算中点索引m，再判断target和nums[m]的大小关系，分以下几种情况：

• 当nums[m] < target或nums[m] > target时，说明还没有找到target，因此采用普通二分查找的缩小区间操作，从而使指针i和j向target靠近。
• 当nums[m] == target时，说明小于target的元素在区间[i,m-1]中，因此采用j = m-1来缩小区间，从而使指针j向小于target的元素靠近。

循环完成后，i指向最左边的target，j指向首个小于target的元素，因此索引i就是插入点。

观察以下代码，其中判断分支nums[m] > target和nums[m] == target的操作相同，因此两者可以合并。即便如此，我们仍然可以将判断条件保持展开，因为逻辑更加清晰、可读性更好。

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/*二分查找插入点（存在重复元素）*/
int binarySearchInsertion(vector<int> &nums, int target){
	int i = 0, j = nums.size() - 1;
	while (i <= j){
		int m = i + (j - 1) / 2;
		if (nums[m] < target)
			i = m + 1;		// target 在区间 [m+1, j] 中
		else if (nums[m] > target)
			j = m - 1;		// target 在区间 [i, m-1] 中
		else
			j = m - 1;		// 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
	}
	// 返回插入点
	return i;
}

总的看来，二分查找无非就是给指针i和j分别设定搜索目标，目标可能是一个具体元素（例如target），也可能是一个元素范围（如小于target的元素）。

在不断的循环二分中，指针i和j都逐渐逼近预先设定的目标。

二分查找边界

查找左边界#

Question
给定一个长度为n的有序数组nums，其中可能包含重复元素。请返回数组中最左一个元素target的索引。若数组中不包含该元素，则返回-1。

在二分查找插入点的方法中，搜索完成后i指向最左一个target，因此查找插入点本质上是在查找最左一个target的索引。

考虑通过查找插入点的函数实现查找左边界。注意，数组中可能不包含target，这种情况可能导致以下两种结果：

• 插入点的索引i越界
• 元素nums[i]与target不相等

当遇到以上两种情况时，直接返回-1即可。

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/*二分查找最左一个target*/
int binarySearchLeftEdge(vector<int> &nums, int target){
	// 等价于查找 target 的插入点
	int i = binarySearchInsertion(nums, target);
	// 未找到 target ，返回 -1
	if (i == nums.size() || nums[i] != target) {
		return -1;
	}
	// 找到 target ，返回索引 i
	return i;
}

查找右边界#

最直接的方式是修改二分查找代码，替换在nums[m] == target情况下的指针收缩策略。下面介绍两种更加取巧的方法。

复用查找左边界#

实际上，我们可以利用查找最左元素的函数来查找最右元素，具体方法为：将查找最右一个target转化为查找最左一个target + 1。

如图所示，查找完成后，指针i指向最左一个target + 1（如果存在），而j指向最右一个target，因此返回j即可。

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/*二分查找最右一个 target*/
int binarySearchRightEdge(vector<int> &nums, int target){
	// 转化为查找最左一个 target + 1
	int i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
	// j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
	int j = i - 1;
	// 未找到 target ，返回 -1
	if (j == -1 || nums[j] != target) {
		return -1;
	}
	// 找到 target ，返回索引 j
	return j;
}

转化为查找元素#

我们知道，当数组不包含target时，最终i和j会分别指向首个大于、小于target的元素。

因此，如图所示，我们可以构造一个数组中不存在的元素，用于查找左右边界。

• 查找最左一个target：可以转化为查找target - 0.5，并返回指针i。
• 查找最右一个target：可以转化为查找target + 0.5，并返回指针j。
  

注意：

• 给定数组不包含小数，这意味着我们无需关心如何处理相等的情况。
• 因为该方法引入了小数，所以需要将函数中的变量target改为浮点数类型。