算法与数据结构——二分查找

风陵南·2024-09-12 09:57·160 次阅读

算法与数据结构——二分查找

二分查找

二分查找(binary search)是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性,每轮缩小一半搜索范围,直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

Qustion
给定一个长度为n的数组nums,元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素target在该数组中的索引。若数组不包含该元素,则返回 -1。

我们先初始化指针i = 0j = n - 1,分别指向数组首元素和尾元素,代表搜索区间`[0, n-1]。(中括号表示闭区间,包含边界值。)

接下来,循环执行以下步骤:

  • 计算索引m = ⌊(𝑖 + 𝑗)/2⌋,其中⌊ ⌋ 表示向下取整操作。
  • 判断nums[m]target的大小关系,分为以下三种情况。
    • nums[m] < target时,说明target在区间[m+1,j]中,因此执行 i=m+1 。
    • nums[m] > target时,说明target在区间[i,m-1]中,因此执行 j=m-1 。
    • nums[m] = target时,说明找到target,因此返回索引m。

若数组不包含目标元素,搜索区间最终会缩小为空,此时返回 -1 。






注意:由于i和j都是int类型,因此i+j可能会超出int类型的取值范围。为了避免大数越界,我们通常采用公式m = ⌊𝑖 + (𝑗 − 𝑖)/2⌋来计算中点。

Copy
/*二分查找*/
int binarySearch(vector<int> &nums, int target){
// 初始化指向首和尾的标记
int i = 0, j = nums.size() - 1, m;
while (i <= j ){
m = (i + (j - i) / 2);
if (nums[m] < target) // 此情况说明target 在区间[m+1, j]中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明target 在区间[i, m-1]中
j = m - 1;
else // 找到目标元素,返回其索引
return m;
}
return -1;
}

时间复杂度为O(logn):在二分循环中,区间每轮被缩小一半,因此循环次数为log2n。
空间复杂度为O(1):指针i和j使用常数大小空间。

区间表示方法#

除了上述闭区间外,常见的区间表示还有“左闭右开”区间,定义为 [0,n)。在该表示下,区间[i,j)在i=j时为空。

我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法:

Copy
/*二分查找(左闭右开区间)[i, j) */
int binarySearchLCRO(vector<int> &nums, int target){
// 初始化左闭右开区间 [0, n) ,即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素 +1
int i = 0, j = nums.size(), m;
while (i < j){
m = i + (j - i) / 2;
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1;
else if (nums[m] > target)// 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
j = m;
else
return m;
}
return -1;
}

在两种区间表示下,二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间,因此通过指针i和指针j缩小区间的操作也是对称的,更不容易出错,因此一般建议采用“双闭区间”的写法

优点与局限性#

二分查找在时间和空间方面都有较好的性能。

  • 二分查找的时间效率高。在大数据量下,对数阶的时间复杂度具有显著优势。
  • 二分查找无需额外空间。相较于借助额外空间的搜索算法(如哈希查找),二分查找更加节省空间。

二分查找也并非适用于所有情况

  • 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序,为了使用二分查找而专门进行排序,得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为O(nlogn),比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景,为保持数组有序性,需要将元素插入到特定位置,时间复杂度为O(n),也是非常昂贵的。
  • 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式(非连续地)访问元素,而在链表中执行跳跃式访问的效率较低,因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构中。
  • 小数据量下,线性查找性能更佳。在线性查找中,每轮只需 1 次判断操作;而在二分查找中,需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法(减法),共 4 ~ 6 个单元操作;因此,当数据量 𝑛 较小时,线性查找反而比二分查找更快。
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