算法与数据结构——图简介
图
图(graph)是一种非线性数据结构,由顶点(vertex)和边(edge)组成。我们可以将图G抽象地表示为一组顶点V和一组边E的集合。以下示例展示了一个包含5个顶点和7条边的图。
如果将顶点看做节点,将边看做连接各个节点的引用(指针),我们就可以将图看作一种从链表拓展而来的数据结构。如下图,相较于线性关系(链表)和分治关系(树),网络关系(图)的自由度更高,因而更为复杂。
根据边是否具有方向,可分为无向图(undirected graph)和有向图(directed graph)。
- 在无向图中,边表示两顶点之间的“双向关系”,例如微信或者QQ中的“好友关系”。
- 在有向图中,边具有方向性,即𝐴 → 𝐵 和 𝐴 ← B两个方向的边是相互独立的,例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系。
根据所有顶点是否连通,可分为连通图(connected graph)和非连通图(disconnected graph)。
- 对于连通图,从某个顶点出发,可以到达其余任意顶点。
- 对于非连通图,从某个顶点出发,至少有一个顶点无法到达。
我们还可以为边添加“权重”变量,从而得到如图所示的有权图(weighted graph)。例如在《王者荣耀》等手游中,系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”,这种亲密度网络就可以使用有权图来表示。
图数据结构包含以下常用术语:
- 邻接(adjacency):当两个顶点之间存在边相连时,称这两顶点“邻接”。
- 路径(path):从顶点A到顶点B经过的边构成的序列被称为从A到B的“路径”。
- 度(degree):一个顶点拥有的边数。对于有向图,入度(in-degree)表示有多少条边指向该顶点,出度(out-degree)表示有多少条边从该顶点指出。
图的表示#
图的常用表示方法包括“邻接矩阵”和“邻接表”。
邻接矩阵#
设图的顶点数量为n,**邻接矩阵(adjacency matrix)使用一个 n*n大小的矩阵来表示图,每一行(列)代表一个顶点,矩阵元素代表边,用1或0表示两个顶点之间是否存在边。
如下图,设邻接矩阵为M、顶点列表为V,那么矩阵元素M[i,j] = 1表示顶点V[i]到顶点V[j]之间存在边,反之M[i,j] = 0表示两顶点之间无边。
邻接矩阵具有以下特性:
- 顶点不能与自身相连,因此邻接矩阵主对角线元素没有意义。
- 对于无向图,两个方向的边等价,此时邻接矩阵关于主对角线对称。
- 将邻接矩阵的元素从1和0替换为权重,则可表示有权图。
使用邻接矩阵表示图时,我们可以直接访问矩阵元素以获取边,因此增删改查操作的效率很高,时间复杂度均为O(1)。然而矩阵的空间复杂度为O(n2),内存占用较多。
邻接表#
邻接表(adjacency list)使用n个链表来表示图,链表节点表示顶点。第i个链表对应顶点i,其中存储了该顶点的所有邻接顶点(与该顶点相连的顶点)。
邻接表进存储实际存在的边,而边的总数通常远小于n2,因此它更加节省空间。但是在邻接表中需要通过遍历链表来查找边,因此其查找时间效率不如邻接矩阵。
邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似,因此我们也可以采用类似方法来优化效率。比如当链表较长时,可以将链表转化为AVL树或红黑树,从而将时间效率从O(n)优化至O(logn);还可以把链表转换为哈希表,从而将时间复杂度降至O(1)。
图的常见应用#
许多现实系统可以用图来建模,相应的问题也可以约化为图计算问题。
顶点 | 边 | 图计算问题 | |
---|---|---|---|
社交网络 | 用户 | 好友关系 | 潜在好友推荐 |
地铁线路 | 站点 | 站点间的连通性 | 最短路线推荐 |
太阳系 | 星体 | 星体间的万有引力作用 | 行星轨道计算 |
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