算法与数据结构——堆

堆

堆（heap）是一种满足特定条件的完全二叉树，主要分为两种类型：

• 小顶堆（min heap）：任意节点的值 ≤ 其子节点的值
• 大顶堆（max heap）：任意节点的值 ≥ 其子节点的值

堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性：

• 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满
• 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将最底层最靠右的节点称为“堆底”。
• 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（根节点）的值是最大（最小）的。

堆的常用操作#

需要指出的是，许多编程语言提供的是优先队列（priority queue），这是一种抽象的数据结构，定义为具有优先级排序的队列。

实际上，堆通常用于实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列。从使用角度来看，
我们可以将“优先队列”和“堆”看做等价的数据结构。因此，我们对两者不做特别区分，统一称作“堆”。

堆的操作效率表如下：

方法名	描述	时间复杂度
push()	元素入堆	O(logn)
pop()	堆顶元素出堆	O(logn)
peek()	访问堆顶元素（对于大/小顶堆分别为最大/小值）	O(1)
size()	获取堆的元素数量	O(1)
isEmpty()	判断堆是否为空	O(1)

在实际应用中，我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）
类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过设置一个flag或修改Comparator实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。
C++中默认情况下，priority_queue使用std::less作为比较函数

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	/*初始化堆*/
    // 初始化大顶堆
    // 完整初始化
    //priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;
    // 简单初始化
	priority_queue<int> maxHeap;
	// 初始化小顶堆
	//priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
	
 
	/*元素入堆*/
	maxHeap.push(1);
	maxHeap.push(3);
	maxHeap.push(2);
	maxHeap.push(5);
	maxHeap.push(4);
 
	/*获取堆顶元素*/
	int peek = maxHeap.top(); // 5
	cout << peek << endl;
 
	/*堆顶元素出堆*/
	// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
	maxHeap.pop(); // 5
	maxHeap.pop(); // 4
	maxHeap.pop(); // 3
	maxHeap.pop(); // 2
	maxHeap.pop(); // 1
 
	/*获取堆大小*/
	int size = maxHeap.size();
	cout << size << endl;
 
	/*判断堆是否为空*/
	bool isEmpty = maxHeap.empty();
	cout << isEmpty <<  endl;
 
	/*输入列表并建堆*/
	vector<int> input{ 1, 3, 2, 5, 4 };
	priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());
	cout << minHeap.top() << endl;

堆的实现#

以下实现的是大顶堆，若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断取反（如将 ≥ 替换为 ≤）。

堆的存储与表示#

在前面使用数组来表示二叉树时发现，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，因此我们将采用数组来存储堆。

当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。**节点指针通过索引映射公式来实现。

如图所示，给定索引i，其左子节点的索引为2i+1，右子节点的索引为2i+2，父节点的索引为(i-1)/2（向下整除）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。

我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用：

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	/*获取左子节点的索引*/
	int left(int i){
		return 2 * i + 1;
	}
	/*获取右子节点的索引*/
	int right(int i){
		return 2 * i + 2;
	}
	/*获取父节点的索引*/
	int parent(int i){
		return (i - 1) / 2; // 向下整除
	}

访问堆顶元素#

堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素：

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	/*访问堆顶元素*/
	int peak(){
		return maxHeap[0];
	}

元素入堆#

给定元素val，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于val可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已经被破坏，因此需要修复从插入节点到根节点路径上的各个节点，这个操作被称为堆化（heapify）。

考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化。比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或无需交换的节点时结束。

设节点总数为n，则树的高度为O(logn)。由此可知，堆化操作的循环轮数最多O(logn)，元素入堆操作的时间复杂度为O(logn)。

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	/*元素入堆*/
	void push(int val){
		// 添加节点
		maxHeap.push_back(val);
		// 从底至顶堆化
		siftUp(size() - 1);
	}
 
	/*从底至顶堆化*/
	void siftUp(int i){
		
		while (true){
			// 获取节点i父节点
			int p = parent(i);
			// 当越过根节点 或 节点无需修复时 结束堆化
			if (p < 0 || maxHeap[i] < maxHeap[p]){
				break;
			}
			// 交换两节点
			swap(maxHeap[i], maxHeap[p]);
			// 循环向上堆化
			i = p;
		}
	}

堆顶元素出堆#

堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤：

1. 交换堆顶元素与堆底元素（交换根节点与最右叶节点）。
2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，因此实际上是删除原来的堆顶元素）。
3. 从根节点开始，从顶至底执行堆化。

“从顶至底堆化”的操作与“从底至顶堆化”相反，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无需交换的节点时结束。

与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为O(logn)。

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	/*元素出堆*/
	void pop(){
		// 判空处理
		if (isEmpty()){
			cout << "堆为空" << endl;
			return;
		}
		// 交换堆顶和堆底最右端的元素
		swap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]);
		// 移除堆底最右端的元素
		maxHeap.pop_back();
		/*从顶至底堆化*/
		siftDown(0);
	}
 
	/*从顶至底堆化*/
	void siftDown(int i){
		while (true){
			// 判断 i,l,r 中值最大的节点，记为 ma
			int l = left(i), r = right(i), ma = i;
			if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
				ma = l;
			if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
				ma = r;
			if (ma == i)
				break;
			swap(maxHeap[i], maxHeap[ma]);
			// 循环向下堆化
			i = ma;
		}
	}

堆的常见应用#

• 优先队列：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为O(logn)，而建队操作为O(n)，这些操作都非常高效
• 堆排序：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。
• 获取最大的k个元素：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前10的新闻作为微博热搜，选取销量前10的商品等。

建堆操作#

在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。

借助入堆操作实现#

我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。

每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”构建的。设元素数量为n，每个元素的入堆操作使用O(logn)时间，因此该建堆方法的时间复杂度为O(nlog)。

通过遍历堆化实现#

实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，分为两步：

• 将列表所有元素原封不动地添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
• 倒序遍历堆（层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。

每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子堆就形成了一个合法的子堆。由于是倒序遍历，因此堆事“自下而上”构建的。

之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。

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	/*构造方法 ， 根据输入列表建堆*/
	MaxHeap(vector<int> nums){
		// 将列表元素原封不动地添加进堆
		maxHeap = nums;
		// 堆化除叶节点外的所有节点
		for (int i = size() - 1; i >= 0; i--){
			siftDown(i);
		}
	}

复杂度分析#

• 假设完全二叉树的节点数量是n，则叶节点数量为（n + 1）/2，其中/为向下整除。因此需要堆化的节点数量为(n - 1)/2。
• 在从顶至底堆化过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度logn。

将上述两者相乘，可得建堆过程的时间复杂度为O(nlogn)。但这个估算结果并不准确，因为没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质。

接下来进行更为准确的计算，为降低计算难度，假设给定一个节点数量为n、高度为h 的完美二叉树。

如图所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以对各层的“节点数量 * 节点高度”求和，得到所有节点的堆化迭代次数的总和。

借助中学知识，先将T(h)乘以2，得到：

利用错位相减，即可得：

观察发现T(h)是一个等比数列，可直接使用求和公式得到时间复杂度为：

进一步，高度为h的完美二叉树的节点数量为 n = 2^h+1 - 1,易得复杂度为O(2^h) = O(n)。以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为O(n)，非常高效。