算法与数据结构——哈希冲突

风陵南·2024-08-28 15:29·72 次阅读

算法与数据结构——哈希冲突

哈希冲突

通常情况下哈希函数那点输入空间远大于输出空间，因此理论上哈希冲突是不可避免的。比如输入空间为全体整数，输出空间为数组容量大小，则必然有多个整数映射至同一个桶索引。

哈希冲突会导致查询结果错误，严重影响哈希表的可用性。为了解决该问题，每当遇到哈希冲突时，我们就进行哈希表扩容，直至冲突消失。此方法简单粗暴且有效，但效率太低，因为哈希表扩容需要进行大量的数据搬运与哈希值计算。为了提升效率，我们可以采用以下策略：

  • 改良哈希表数据结构，使得哈希表可以在出现哈希冲突时正常工作。
  • 仅在必要时，即当哈希冲突比较严重时，才执行扩容操作。

哈希表的结构改良方法主要包括“链式地址”和“开放寻址”。

链式地址#

在原始哈希表中，每个桶仅能存储一个键值对。链式地址（separate chaining）将单个元素转换为链表，将键值对作为链表节点，将所发生冲突的键值对都存储在同一链表中。如图展示了一个链式哈希表的例子：

基于链式地址实现的哈希表的操作方法发生了以下变化：

  • 查询元素：输入key，经过哈希函数得到桶索引，即可访问链表头节点，然后遍历链表并对比key以查找目标键值对。
  • 添加元素：首先通过哈希函数访问链表头节点，然后将节点（键值对）添加到链表中。
  • 删除元素：根据哈希函数的结果访问链表头部，接着遍历链表以查找目标节点并将其删除。

链式地址存在以下局限性：

  • 占用空间增大：链表头节点包含节点指针，它相比数组更加耗费内存空间。
  • 查询效率降低：因为需要线性遍历链表来查找对应元素。

以下代码给出了链式地址哈希表的简单实现，需要注意两点：

  • 使用列表（动态数组）代替链表，从而简化代码。在这种设定下，哈希表（数组）包含多个桶，每个桶都是一个列表。
  • 以下实现包含哈希表扩容方法。当负载因子超过2/3时我们将哈希表扩容至原先的2倍。
/*键值对*/
struct Pair{
	int key;
	string val;
	Pair(int key, string val){
		this->key = key;
		this->val = val;
	}
};
 
class HashMapChaining{
private:
 
	int capacity;									// 哈希表容量
	double loadThres;							// 触发扩容的负载因子阈值
	int extendRatio;							// 扩容倍数
	vector<vector<Pair*>> buckets; // 桶数组
public:
	int size;											// 键值对数量
	/*构造方法*/
	HashMapChaining() :size(0), capacity(4), loadThres(2.0 / 3.0), extendRatio(2){
		buckets.resize(capacity);
	}
	/*析构方法*/
	~HashMapChaining(){
		for (auto &bucket : buckets){
			for (Pair *pair : bucket){
				//释放内存
				delete pair;
			}
		}
	}
	/*哈希函数*/
	int hashFunc(int key){
		int index = key % capacity;
		return index;
	}
 
	/*负载因子*/
	double loadFactor(){
		return (double)size / (double)capacity;
	}
	/*查询操作*/
	string get(int key){
		int index = hashFunc(key);
		if (buckets[index].size() == 0)
			return "";
		for (Pair * pair : buckets[index]){
			if (key == pair->key)
				return pair->val;
		}
		return "";
	}
	/*添加操作*/
	void put(int key, string val){
		if (loadFactor() > loadThres)
			extend();
		Pair * pair = new Pair(key, val);
		int index = hashFunc(key);
		buckets[index].push_back(pair);
		size++;
	}
	/*删除操作*/
	void remove(int key){
		int index = hashFunc(key);
		for (auto iter = buckets[index].begin(); iter != buckets[index].end();iter++){
			if (key == (*iter)->key){
				buckets[index].erase(iter);
				size--;
				return;
			}
		}
		cout << "未找到该元素" << endl;
	}
	/*扩容哈希表*/
	void extend(){
		buckets.resize(extendRatio * capacity);
		capacity *= extendRatio;
	}
	/*打印哈希表*/
	void print(){
		for (auto &bucket : buckets){
			for (Pair *pair : bucket){
				cout << pair->key << "->" << pair->val << endl;
			}
		}
	}
};

值得注意的是，当链表很长时，查询效率O(n)很差，此时我们可以将链表转换为“AVL树”或“红黑树”，从而将查询操作的时间复杂度优化至O(logn)。

开放寻址#

开放寻址（open addressing）不引入额外的数据结构，而是通过“多次探测”来处理哈希冲突，探测方式主要包括线性探测、平方探测和多次哈希等。

下面以线性探测为例，介绍开放寻址哈希表的工作机制。

线性探测#

线性探测采用固定步长的线性搜索来进行探测，其操作方法与普通哈希表有所不同：

  • 插入元素：通过哈希函数计算桶索引，若发现桶内已有元素，则向冲突位置向后线性遍历（步长通常为1），直至找到空桶，将元素插入其中。
  • 查找元素：若发现哈希冲突，则使用相同步长向后进行线性遍历，知道找到对应元素，返回value即可；如果遇到空桶，说明目标不在哈希表中，返回None。

下图展示了开放寻址（线性探测）哈希表的键值对分布。根据此哈希函数，最后两位相同的key都会被映射到相同的桶。而通过线性探测，它们被一次存储在该桶以及之下的桶中。

然而，线性探测容易产生“聚集现象”。具体来说，数组中连续被占用的位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，从而进一步促使该位置的聚堆生长，形成恶性循环，最终导致增删改查操作效率劣化。

注意，我们不能再开放寻址哈希表中直接删除元素。这是因为删除元素会在数组内产生一个空桶None，而当查询元素时，线性探测到该空桶就会返回，因此在该空桶之下的元素都无法再被访问到，程序可能误判这些元素不存在。

为解决这个问题，我们可以采用懒删除（lazy deletion）机制：它不直接从哈希表中移除元素，而是利用一个常量TOMBSTONE来标记这个桶。在该机制下，None和TOMBSTONE都代表空桶，都可以放置键值对。但不同的是，线性探测到TOMBSTONE时应该继续遍历，因为其之下还可能存在键值对。

懒删除可能会加速哈希表的性能退化，每次删除操作都会产生一个删除标记，随着TOMBSTONE的增加，搜索时间也会增加，因为线性探测可能需要跳过多个TOMBSTONE才能找到目标元素。

为此，考虑在线性探测中（即在添加元素或查找元素时）记录遇到的首个TOMBSTONE的索引，并将搜索到的目标元素与该TOMBSTONE交换位置。这样做的好处是当每次查询或添加元素时，元素会被移动至理想位置（探测起始点）更近的桶，从而优化查询效率。可以将其封装为一个函数供添加和查找使用：

新增时，假设键值不存在与原哈希表中，程序会走完while循环（线性探测过程），将index循环累加直到数组中为空一个位置上，供添加使用，如果过程中出现了删除标记，则最终直接返回这个标记供添加使用，提高利用率。

	/*搜索key对应的桶索引*/
	int findBucket(int key){
		int index = hashFunc(key);
		int firstTompStone = -1;
		Pair *pair;
		while (buckets[index] != nullptr){
			pair = buckets[index];
			
			if (key == pair->key){
				// 若之前存在删除标记
				if (firstTompStone != -1){
					buckets[firstTompStone] = buckets[index];
					buckets[index] = TOMBSTONE;
					return firstTompStone;
				}
				return index;
			}
			if (firstTompStone == -1 && pair == TOMBSTONE){
				firstTompStone = index;
			}
			// 使其循环遍历 形成环形数组
			index = (index + 1) % capacity;
		}
		// key不存在时，返回哈希函数值最近的空桶（供添加元素使用）
		return firstTompStone == -1 ? index : firstTompStone;
	}

以下代码实现了一个包含懒删除的开放寻址（线性探测）哈希表。为了更加充分地使用哈希表空间，我们将哈希表看作一个“环形数组”，当越过数组尾部时，回到头部继续遍历。

#include "iostream"
#include "vector"
#include "string"
 
using namespace std;
 
/*键值对*/
struct Pair{
	int key;
	string val;
	Pair(int key, string val){
		this->key = key;
		this->val = val;
	}
};
 
class HashMapOpenAddressing{
private:
	int capacity;									// 哈希表容量
	double loadThres;							// 触发扩容的负载因子阈值
	int extendRatio;							// 扩容倍数
	vector<Pair *> buckets;				// 桶数组
	Pair *TOMBSTONE = new Pair(-1, "-1");// 删除标记
public:
	int size;											// 键值对数量
	/*构造方法*/
	HashMapOpenAddressing() :size(0), capacity(4), loadThres(2.0 / 3.0), extendRatio(2){
		buckets.resize(capacity);
	}
	/*析构方法*/
	~HashMapOpenAddressing(){
		for (Pair* pair : buckets){
			if (pair != nullptr && pair != TOMBSTONE){
				delete pair;
			}
		}
		delete TOMBSTONE;
	}
	/*哈希函数*/
	int hashFunc(int key){
		int index = key % capacity;
		return index;
	}
	/*负载因子*/
	double loadFactor(){
		return (double)size / (double)capacity;
	}
	/*搜索key对应的桶索引*/
	int findBucket(int key){
		int index = hashFunc(key);
		int firstTompStone = -1;
		Pair *pair;
		while (buckets[index] != nullptr){
			pair = buckets[index];
			
			if (key == pair->key){
				// 若之前存在删除标记
				if (firstTompStone != -1){
					buckets[firstTompStone] = buckets[index];
					buckets[index] = TOMBSTONE;
					return firstTompStone;
				}
				return index;
			}
			if (firstTompStone == -1 && pair == TOMBSTONE){
				firstTompStone = index;
			}
			// 使其循环遍历 形成环形数组
			index = (index + 1) % capacity;
		}
		// key不存在时，返回哈希函数值最近的空桶（供添加元素使用）
		return firstTompStone == -1 ? index : firstTompStone;
	}
	/*查询操作*/
	string get(int key){
		int index = findBucket(key);
		if (buckets[index] != nullptr && buckets[index] != TOMBSTONE)
			return (buckets[index]->val);
		return "";
	}
	/*添加操作*/
	void put(int key, string val){
		if (loadFactor() > loadThres)
			extend();
		int index = findBucket(key);
		// 找到已存在的key值 直接覆盖
		if (buckets[index] != nullptr && buckets[index] != TOMBSTONE){
			buckets[index]->val = val;
			return;
		}
		// 不存在则新增键值对
		buckets[index] = new Pair(key, val);
		size++;
 
	}
	/*删除操作*/
	void remove(int key){
		int index = findBucket(key);
		// 找到键值对
		if (buckets[index] != nullptr && buckets[index] != TOMBSTONE){
			delete buckets[index];
			buckets[index] = TOMBSTONE;
			size--;
		}else{
			cout << "不存在该键值对" << endl;
		}
	}
	/*扩容哈希表*/
	void extend(){
		// 暂存原哈希表
		vector<Pair *> bucketsTmp = buckets;
		// 初始化扩容后的新哈希表
		capacity *= extendRatio;
		buckets = vector<Pair*>(capacity, nullptr);
		size = 0;
		// 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
		for (Pair* pair : bucketsTmp){
			if (pair != nullptr && pair != TOMBSTONE){
				put(pair->key, pair->val);
				delete pair;
			}
		}
	}
	/*打印哈希表*/
	void print(){
		for (Pair* pair : buckets){
			if (pair != nullptr && pair != TOMBSTONE)
				cout << pair->key << "->" << pair->val << endl;
			
		}
	}
};
 
int main(){
	HashMapOpenAddressing *OAmap = new HashMapOpenAddressing();
	OAmap->put(123, "张三");
	OAmap->put(154, "李四");
	OAmap->put(198, "王麻子");
	OAmap->put(244, "牛魔");
	OAmap->put(388, "诗人");
	OAmap->print();
	
	cout << "====删除====" << endl;
	OAmap->remove(154);
	OAmap->print();
	cout << "==========" << endl;
	cout << "大小：" << OAmap->size << endl;
	cout << "====查询====" << endl;
	cout << "198 ->" << OAmap->get(198) << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

平方探测#

平方探测与线性探测类似，都是以开放寻址的常见策略之一。当发生冲突时，平方探测不是简单跳过一个固定的步数，而是跳过探测次数的平方的步数，即1,4,9,...步。

平方探测主要具有以下优势：

  • 平方探测通过跳过探测次数平方的距离，试图缓解线性探测的聚集效应
  • 平方探测会跳过更大的距离来寻找空位置，有助于数据分布得更加均匀

缺点：

  • 仍然存在聚集现象，即某些位置比其他位置更容易被占用
  • 由于平方的增长，平方探测可能不会探测整个哈希表，这意味着即使哈希表中有空桶，平方探测也可能无法访问到它。

多次哈希#

顾名思义，多次哈希方法使用多个哈希函数𝑓1(𝑥)、𝑓2(𝑥)、𝑓3(𝑥)、… 进行探测。

  • 插入元素：当哈希函数f1(x)出现冲突，则尝试f2(x)，以此类推，直到出现空位后插入元素
  • 查找元素：在相同的哈希函数顺序下进行查找，直到找到目标元素时返回；若遇到空位或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中不存在该元素，则返回None。

与线性探测相比，多次哈希不易产生聚集，但多个哈希函数会带来额外的计算量。

注意：开放寻址（线性探测、平方探测和多次哈希）哈希表都不能直接删除元素。

不同编程语言的实现#

各种编程语言采取了不同的哈希表实现策略，下面举几个例子：

  • Python 采用了开放寻址，字典dict使用为随机数进行探测
  • Java 采用链式地址，字JDK1.8以来，当HashMap内数组长度达到64且链表长度达到8时，链表会转换为红黑树以提升查找性能。
  • Go 采用链式地址。 Go 规定每个桶最多存储8个键值对，超出容量则连接一个溢出桶；当溢出桶过多时，会执行一次特殊的等量扩容操作，以确保性能。

 

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