采样之马尔科夫链

1.马尔科夫链概述

马尔科夫链定义本身比较简单，它假设某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。举个形象的比喻，假如每天的天气是一个状态的话，那个今天是不是晴天只依赖于昨天的天气，而和前天的天气没有任何关系。当然这么说可能有些武断，但是这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等，当然MCMC也需要它。

 马氏链的数学定义：

举一个例子，社会学家经常把人按其经济状况分成3类：下层(lower-class)、中层(middle-class)、上层(upper-class)，我们用1,2,3 分别代表这三个阶层。社会学家们发现决定一个人的收入阶层的最重要的因素就是其父母的收入阶层。如果一个人的收入属于下层类别，那么他的孩子属于下层收入的概率是 0.65, 属于中层收入的概率是 0.28, 属于上层收入的概率是 0.07。事实上，从父代到子代，收入阶层的变化的转移概率如下

 

 使用矩阵的表示方式，转移概率矩阵记为：

2.马尔科夫链模型状态转移矩阵的性质

我们发现从第7代人开始，这个分布就稳定不变了，事实上，在这个问题中，从任意初始概率分布开始都会收敛到这个上面这个稳定的结果。

 

上面的性质中需要解释的有：

　　　　1）非周期的马尔科夫链：这个主要是指马尔科夫链的状态转化不是循环的，如果是循环的则永远不会收敛。幸运的是我们遇到的马尔科夫链一般都是非周期性的。用数学方式表述则是：对于任意某一状态i，d为集合{n∣n≥1,Pnii>0}{n∣n≥1,Piin>0} 的最大公约数，如果 d=1d=1 ，则该状态为非周期的

　　　　2）任何两个状态是连通的：这个指的是从任意一个状态可以通过有限步到达其他的任意一个状态，不会出现条件概率一直为0导致不可达的情况。

　　　　3）马尔科夫链的状态数可以是有限的，也可以是无限的。因此可以用于连续概率分布和离散概率分布。、

　　　　4）ππ通常称为马尔科夫链的平稳分布。

3.基于马尔科夫链采样

 

参考：https://www.cnblogs.com/xbinworld/p/4266146.html

       http://www.cnblogs.com/pinard/p/6632399.html