卢卡斯定理

2016.1.26

 

卢卡斯定理： 若p为素数，则 

 

定理证明一级准备：当n为素数，则  

                          显然n和k互质，所以C（n-1,k-1)/k为整数，于是有上述式子

定理证明二级准备：(1+x)^sp+q≡((1+x)^p)^s * (1+x)^q≡(1+x^p)^s * (1+x)^q(mod p)

 

                          所以

开始证明：我们若要求上述右式中x^tp+r项的系数，则必须i=t,j=r,则系数为

            

              我们若要求上述左式中x^tp+r项的系数，则系数为

             

              如此可得

           

得证

 

例题：聪聪考试