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扩展欧几里得算法

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2016.1.25

(未更新完)

一、欧几里得算法(辗转相除法)

1、用途:快速计算两个数的最大公约数。

2、精髓:gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

3、证明:设r=a mod b,则我们要证明的是gcd(a,b)=gcd(b,r)

             设gcd(a,b)=c,则a=mc,b=nc,且m,n互质。那么r=a-kb=(m-kn)c,所以c也是r的因数。

             若gcd(b,r)>c,则设为d,则有b=m1*d,r=n1*d,所以a=(m1+n1)*d,则d为a的因数,所以gcd(a,b)=d,与题设不符。

             所以gcd(a,b)=gcd(b,r)

4、时间复杂度:显然经过两次递归后第一个参数至少减小一半

                      所以时间复杂度粗略为O(log max(a,b))

5、经典例题:线段上格点的个数

 

二、扩展欧几里得算法:

1、用途:快速求整数x,y使得ax+by=gcd(a,b)

2、精髓代码:

复制代码
void extgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        extgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x; 
    }
}
复制代码

 

     3、证明:由于gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

                  所以b*x1 + (a%b)*y1 = gcd(a,b)

                  a%b = a - (a/b)*b

                  所以gcd(a,b) = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

                                    = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

                                    = a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

                  对于我们所求的x,y使得ax+by=gcd(a,b)

                  则有  x = y1

                  y = x1 – a/b*y1

                  证毕

                  至于终止条件,因为当欧几里得算法终止时a=gcd,b=0,则当x=1,y=0时,必使目标公式成立。

                  另外关于ax+by=c的充要条件为什么是c=gcd(a,b),可以自行百度一下裴蜀定理。

     4、时间复杂度:与欧几里得算法一致

     5、经典例题:双六

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