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随笔分类 -  数学相关 模运算

HDNOIP201405杨辉三角

摘要：2016.1.27 试题描述 杨辉三角是形如如下的数字三角形： 1 1 1 1 2 1 …… 现在想求出杨辉三角第N行的N个数中，有多少个数能被给定的质数p整除。 输入 一行两个空格隔开的整数N和p 输出 输出一个整数，表示第N行能被给定的质数p整除的个数 输入示例 3 2 输出示例 1 其他说明 阅读全文

posted @ 2016-01-27 10:01 POOH1DROSE 阅读(399) 评论(0) 推荐(0)

聪聪考试

摘要：2016.1.26 试题描述 聪聪是一个善良可爱、睿智聪慧的好孩子。聪聪是100%的学霸，这一天她在考数学。聪聪很快做到了最后一道题：“高一八班有n个人，从1到n编号，一次互判作业时，老师随机将作业发到这n个人手中。已知有k个人拿到的不是自己的作业，那么请问有多少种情况符合条件呢？”这么简单的问题聪 阅读全文

posted @ 2016-01-26 22:15 POOH1DROSE 阅读(385) 评论(0) 推荐(0)

对于C(n,k)取模

摘要：2016.1.26法一：直接根据定义式，求乘法逆元即可法二：借助关于n！mod p，那么根据C(n,k)的定义式并结合乘法逆元即可求解。法三：借助卢卡斯定理求解特别注意：在C(n,k)模p等于0的情况下，上述方法均不奏效，所以需要特判。特判方法举例：如在采取法一时，分子中因子p的个数为e1，分母中因... 阅读全文

posted @ 2016-01-26 20:40 POOH1DROSE 阅读(669) 评论(0) 推荐(0)

卢卡斯定理

摘要：2016.1.26 卢卡斯定理： 若p为素数，则 定理证明一级准备：当n为素数，则 显然n和k互质，所以C（n-1,k-1)/k为整数，于是有上述式子 定理证明二级准备：(1+x)sp+q≡((1+x)p)s * (1+x)q≡(1+xp)s * (1+x)q(mod p) 所以 开始证明：我们若要 阅读全文

posted @ 2016-01-26 16:04 POOH1DROSE 阅读(1799) 评论(0) 推荐(0)

关于n！mod p

摘要：2016.1.26让我们来研究一下关于n!在mod p下的性质，当然这里p是质数。首先n!=a*pe,其中p不可整除a。我们现在来做两件事情，求e和a mod p.显然，n/p表示[1,n]中p的倍数的个数，我们把[1,n]所有的数都除以p，那么剩余的数里还是p的倍数的数在除之前一定至少含有因子p2... 阅读全文

posted @ 2016-01-26 14:19 POOH1DROSE 阅读(1186) 评论(0) 推荐(0)

威尔逊定理

摘要：2016.1.26 威尔逊定理证明：当且仅当p为质数，p可整除(p-1)!+1 （1）充分性证明： First : 先把奇奇怪怪的取值试验一下 若p=2，成立； 若p=3，成立； 那么我们就开始研究p>=5的情况 Second : 我们先来证明几个结论 设A = {2,3,4,……,p-2} 设a∈ 阅读全文

posted @ 2016-01-26 14:18 POOH1DROSE 阅读(788) 评论(0) 推荐(0)

中国剩余定理

摘要：2016.1.26 由于比较懒，于是先copy百度一发 -------------------我是分割线-------------------- 用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组： (S): x≡a1 (mod m1) x≡a2 (mod m2) . . . x 阅读全文

posted @ 2016-01-26 10:42 POOH1DROSE 阅读(404) 评论(0) 推荐(1)

除法取模

摘要：2016.1.26在加减乘都有公式方便我们计算时，除法显得有些丧心病狂，(a/b)%m显然不一定等于( (a%m) / (b%m) )%m.但其实除法取模如果在算法竞赛中遇到一般都会有小技巧来避免这一步，但在这里还是说一下网上的一般处理办法。那当然就是费马小定理。在p为素数，b无法被p整除的情况下，... 阅读全文

posted @ 2016-01-26 10:06 POOH1DROSE 阅读(1622) 评论(0) 推荐(0)

欧拉函数及费马小定理

摘要：2016.1.26 欧拉函数： 对于m=p1e1 . p2e2 . p3e3 . …… . pnen （唯一分解） 欧拉函数定义为φ(m)=m * ∏(pi – 1)/pi 其意义为不超过m并且和m互素的数的个数 特别的φ（1）=1 证明： 首先不知道容斥原理的先了解一下 于是可以得到φ(m)=n- 阅读全文

posted @ 2016-01-26 09:54 POOH1DROSE 阅读(5679) 评论(0) 推荐(1)

基础模运算

摘要：2016.1.26先普及：a≡b(mod m)的意思是a和b取模m的余数相等a取模m的余数记作a mod m(当年天真的我以为上面那个三道杠就是取模完余数的意思(￣▽￣)然后是公式：假设a≡c(mod m) b≡d(mod m) 则a+b≡c+d(mod m) a-b≡c-d(mod m) a*b≡... 阅读全文

posted @ 2016-01-26 09:40 POOH1DROSE 阅读(165) 评论(0) 推荐(0)

快速幂算法

摘要：在计算形如ab的运算时，如果用朴素的算法需要O(b)的时间复杂度，当b很大时显然是不可取的，于是我们希望找到一种快速的算法来计算，尤其是题目中要求答案取模时。对于朴素的算法我们有ans=1;for(int i=1;i<=b;i++) (ans*=a)%=mod;我们可以简单优化一下，在循环之前加入a... 阅读全文

posted @ 2016-01-25 14:32 POOH1DROSE 阅读(624) 评论(0) 推荐(0)