素数筛
埃式筛法
\(Eratosthenes\) 筛法
埃拉托色尼选筛法,是古希腊数学家埃拉托色尼提出的一种筛选法。
该筛法基于这样的想法:任意大于1的正整数 \(x\) 的倍数 \(2x, 3x,...\) 都不是质数。根据质数的定义,上述命题显然成立。
从 2 开始,由小到达扫描每个 x ,把它的倍数 \(2x,3x,\cdots, \lfloor N/x\rfloor*x\) 标记为合数。
每当扫描到一个树时,若它尚未被标记,则它不能被\(2\sim x-1\) 之间的任何数整除,该数就是质数。
$Eratosthenes $ 筛法过程如下:
另外我们可以发现,2 和 3 都会把 6 标记为合数。实际上,小于 \(x^2\) 的 x 的倍数在扫描更小的数时就已经被标记过了。因此,我们可以对 \(Eratosthenes\) 筛法进行优化,只需要从 \(x^2\) 开始把 x 的倍数标记为 合数即可。
int prime[N], v[N], m;
void primes(int n){
memset(v, 0, sizeof v);
for(int i=2;i<=n;i++){
if(v[i] == 0){
prime[++m] = i;
}
for(int j=i;j<=n/i;j++) v[i*j] = 1;
}
}
该算法复杂度为\(O(\sum_{质数p\le N}\frac{N}{p}) = O(N\log \log N)\) 。效率已经非常接近线性,是最常用的质数筛法
线性筛法
Eratosthenes 筛法利用的原理是 任意大于一的正整数 x 的倍数 2x,3x,... 等都不是质数 。
但是即便如此也会有重复标记的现象,例如12既会被2又会被3标记,在标记2的倍数时,\(12 = 6*2\),在标记3的倍数时,\(12 = 4*3\) ,根本原因是没有找到唯一产生12的方式。
线性筛法的核心原理
每个合数必有一个最大因子(不包括它本身),用这个因子把合数筛掉
换言之:每个合数必有一个最小素因子,用这个因数把合数筛掉
过程
假设对于一个确定的整数 \(i\),\(i\) 是一个合数 \(t\) 的最大因数,\(t\) 显然可能不唯一(例如 30 和 45 最大因数都是 15)。但是仔细想一想,必然有一个p,满足:
- \(p\)为什么一定小于等于 \(i\)?因为 \(i\) 是 \(t\) 的最大因数。
- 为什么 \(p\) 一定是质数?因为如果 \(p\) 是合数,那么 \(i\) 就一定不是 \(t\) 的最大因数,因为 \(p\) 可以再拆成若干素数相乘,这些素数再与 \(i\) 相乘会使该因数更大。
既然如此,我们只需要把所有小于 \(i\) 的质数 \(p\) 都挨个乘一次拿到所有合数就好了。可是,这样就不会有重复标记嘛?
会的,我们一不小心就忘记了最初的条件。我们要满足 \(i\) 是 \(t\) 的最大因数。如果 \(p\) 大于 \(i\) 的最小质因数,那 \(i\) 还是 \(t\) 的最大因数嘛?显然不是,任何一个合数 \(t\) 都能唯一分解为有限个质数的乘积,除去这其中最小的质因数,其他的都乘起来就是最大因数 \(i\) 。所以我们不能让 \(p\) 大于 \(i\) 的最小质因数(设为\(x\)),否则 \(i\) 将不再是 \(t = i*p\) 的最大因数,其最大因数应该是\(i*p/x\) 。
下面有两个版本,核心处理稍有一点点不同,理解即可。
版本一
v[i]
表示 i 的最小质因数。如果i就是质数,那么v[i] = i
prime[j]
表示第 j 个质数。与之前的筛法不同,这个数组是存放质数的,而不是标记质数的
#define MAXN 1000012
int prime[MAXN],v[MAXN];
int m=0;//m表示现在筛出m个质数
void primes(int n)
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(v[i]==0)//如果v[i]为0,说明 i 之前没有被筛到过,i 为质数
{
v[i] = i;
prime[++m] = i;
}
for(int j = 1;j<=m;j++)//遍历小于 i 的所有质数
{
//如果质数大于 i 的最小质因数或者乘起来大于n就跳出循环
if(prime[j] > v[i] || prime[j] > n/i) break;
v[i*prime[j]] = prime[j];//标记 i*prime[j] 的最小质因数是prime[j]
}
}
}
版本二
v[i]
i 为质数则为0,否则为 1prime[j]
与上面相同
#define MAXN 1000000
int prime[MAXN],v[MAXN];
int m=0;//m表示现在筛出m个质数
void primes(int n)
{
v[1] = 1;//1不是质数,提前处理
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(v[i]==0)//如果v[i]为0,说明 i 之前没有被筛到过,i 为质数
prime[++m] = i;
for(int j = 1;j<=m;j++)//遍历小于 i 的所有质数
{
//乘起来大于就跳出循环
if(prime[j] > n/i) break;
v[i*prime[j]] = 1;//标记 i*prime[j] 的最小质因数是prime[j]
//当遇到最小的质数是i的因数时,break
if(i%prime[j]==0)break;
}
}
}