关于DNA双链种类数的小讨论
DNA计数
摘要
之前看到 \(jmh\)，\(yyy\)，\(zyl\) 一起写的博客，我也大概了解了一下这个问题：
因为碱基对有 \(A-T\)，\(T-A\)，\(C-G\)，\(G-C\) 四种情况，所以长度为 \(n\) 的DNA双链有 \(4^n\) 种。
问题发现
出现了点小问题，比如如下两个 DNA 双链：
\[\begin{array}{|cc|}
3 \ \ \ \ \ 5\\
A-T \\
A-T \\
A-T \\
5 \ \ \ \ \ 3\\
\end{array} \ \ \ \
\begin{array}{|cc|}
3 \ \ \ \ \ 5\\
T-A \\
T-A \\
T-A \\
5 \ \ \ \ \ 3\\
\end{array}
\]
它们的平面结构完全相同，并且因为 DNA 螺旋是右手螺旋，它们的双螺旋结构理论上也一样；
显然它们在 \(4^n\) 中都被算到了。
问题探究
这是因为 DNA 的两条脱氧核苷酸链呈反向平行；
所以只需要先左右翻转再上下翻转(下文简称"完全翻转")就可以得到完全一样的DNA双链。
故初步猜想 DNA 种类数为 \(f_n = \frac{1}{2} \times 4 ^ n\)，其中 \(n\) 为碱基对数。
但问题还没有解决：
当 \(n\) 为偶数时，若 DNA 的上半段与下半段可以互相通过完全翻转得到，该 DNA 并不会被算重。
举例说明一下：
\[\begin{array}{|cc|}
3 \ \ \ \ \ 5\\
A-T \\
A-T \\
T-A \\
T-A \\
5 \ \ \ \ \ 3\\
\end{array} \ \ \ \
\]
这部分并不难处理：
只需要算出上半段的种类数(\(4^{\frac{n}{2}}\))，下半段完全翻转过去即可。
简单总结一下，可以的到 DNA 计数的柿子：
\[f_n = \begin{cases}
\frac{1}{2} \times 4 ^ n, & 2 | (n + 1) \\
\frac{1}{2} \times (4 ^ n + 4 ^ {\frac{n}{2}}), & 2 | n
\end{cases}
\]
补充说明
课本当中 \(4 ^ n\) 肯定不无道理，经过 \(jmh\)yy 查阅资料后发现：
我们也没有考证资料的权威性，也不排除上述问题存在争议的可能；
生命体是一个及其复杂的体系，也许 DNA 两条链存在些许差异只有其他细胞器可以识别；
所以不妨认定长度为 \(n\) 的 DNA 双链有 \(4 ^ n\) 种。
问题延伸
在不考虑生物学的情况下，DNA 的上述性质可以扩展并加以探究；
由于本人学业繁(bu)忙(xing)，还没有完成这方面的学习，有机会一定出道题，八说了，写作业去了。
