线性基学习笔记

线性基学习笔记

线性基是什么》》》

给定一个序列 \(A=a_1, a_2, a_3 \cdots a_n\) ，定义集合 \(S\) 为 \(A\) 子集的异或和组成的集合。

一个集合 \(B\) 使得 \(S\) 中的数可以由 \(B\) 中的几个数异或得到，且 \(B\) 的任意真子集不满足该性质，则 \(B\) 为 \(A\) 的线性基。

怎么求线性基？

把 \(A\) 中的数一个一个插入线性基即可。

插入方法：设现在已经得到的线性基为 \(A_0\) ，插入的数为 \(x\) ，从高到低扫描 \(x\) 的二进制位，如果这一位上有基，就把 \(x\) \(xor\) \(a_i\) 知道找到第一个没有基的位置，否则 \(x\) 不对线性基造成影响。

证明：别问 问就是不会；（按照上述证明过程，显然 \(A\) 中每个数的 \(1\) 都可以由线性基里的数得到，且不难发现 \(\forall_j b_j\) 第 \(j\) 位之前都是 \(0\)

代码实现：

struct linear_basis {
    ll a[65];
    inline void insert(ll x) {
        if(!x) return ;
        for(int i=maxl;i>=0;i--)
            if(x&(1ll<<i)) {
                if(!a[i]) { a[i]=x; break; }
                x^=a[i];
            }
    }

}B;

一些应用

在 \(n\) 个数中选若干个数的最大异或和

在得到线性基后，只需从高到低考虑 线性基中的数是否会使答案增大即可。

在一个无向连通图中找一条从1到n的路径，使路径长度异或和最大

显然，这条路径由一条链和若干环组成，所以可以先 \(dfs\) 找到一条链；

不难发现，这条链发生变化当且仅当链上的两个节点之间的路径发生改变，改变前后的两段刚好是一个环；

所以，任意一条链可以通过异或这个环的异或和得到；

考虑环，有一部分在链上的环已经考虑过，只需考虑不在链上的；

显然从环到链这一段是无效的；

所以把环的异或和插入线性基即可；