题解 P4512 【【模板】多项式除法】
前言
原理有大佬写了
所以蒟蒻只讲下本题的代码细节
我看懂的大佬博客：博客地址
因为可能知道了大致的步骤还有很多细的地方不理解
导致写的时候要花很久
并且看到大佬们好像都是用递归写的
希望能有帮助吧
背景
由于我太菜了实在看不懂其他大佬的代码只能自己写
于是因为很多的细节原因和并一些大佬的奇异写法误导调了N+个小时
# 详细的地方还是看代码里面说明吧
因为没怎么优化常数比较大吧
有写代码是可以简化的
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long #define C getchar()-48 inline ll read() { ll s=0,r=1; char c=C; for(;c<0||c>9;c=C) if(c==-3) r=-1; for(;c>=0&&c<=9;c=C) s=(s<<3)+(s<<1)+c; return s*r; } const ll p=998244353,G=3,N=400010; ll n,m; ll f[N],g[N],q[N],r[N],inv[N],rev[N],c[N]; ll tmp1[N],tmp2[N]; inline ll ksm(ll a,ll b)//..快速幂 { ll ans=1; while(b) { if(b&1) ans=(ans*a)%p; a=(a*a)%p; b>>=1; } return ans; } inline void ntt(ll *a,ll n,ll kd)//ntt日常操作 { for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]); for(int i=1;i<n;i<<=1) { ll gn=ksm(G,(p-1)/(i<<1)); for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)) { ll t1,t2,g=1; for(int k=0;k<i;k++,g=g*gn%p) { t1=a[j+k],t2=g*a[j+k+i]%p; a[j+k]=(t1+t2)%p,a[j+k+i]=(t1-t2+p)%p; } } } if(kd==1) return; ll ny=ksm(n,p-2); reverse(a+1,a+n); for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*ny%p; } inline void cl(ll *a,ll *b,ll n,ll m,ll len,ll w)//处理 { for(int i=0;i<len;i++) tmp1[i]=i<n?a[i]:0;//复制 清空多余//因为tmp被使用多遍 而在做ntt时 用的是长度为len的 for(int i=0;i<len;i++) tmp2[i]=i<m?b[i]:0;//而有效的值只有它的得出的长度 后面其它的在模意义下都被清掉了 但之前在写的时候有的地方并没有清 //为了避免出错所以一定要清空 (在这个代码里)//..不要打成 i<n?tmp1[i]=a[i]:0;...只有像我这种蒟蒻才会犯这种错误吧 for(int i=0;i<len;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(w-1));//蝴蝶 } inline void polyinv(ll *a,ll *b,ll ed)//递推版 { b[0]=ksm(a[0],p-2);//设初始值 a*b=1(mod=x)b的值 for(int k=1,j=0;k<=(ed<<1);k<<=1,j++)//从两个长度为k的多项式a,b递推 {//!!因为这份代码的递推算的是 两个长度为a的多项式在模（m^k)次下的逆元 //所以如果直接用ed为条件只会推出小于ed的逆元 所以ed要再乘一倍 //所以多项式总共需要的范围要为4倍所以N要4倍 ll len=k<<1; //len 两式子计算后大小 cl(a,b,k,k,len,j+1);//处理//j+1 要看len调整 因为len乘上了一倍 所以j在处理时也要加上1 之前没有加被坑了好久 ntt(tmp1,len,1);ntt(tmp2,len,1);//注意不要直接用a,b算 因为ntt后原多项式的值会变 为了方便所以先复制一遍在用复制的多项式算 for(int i=0;i<len;i++) b[i]=tmp2[i]*(2ll-tmp1[i]*tmp2[i]%p+p)%p;//求逆 ntt(b,len,-1); for(int i=k;i<len;i++) b[i]=0;//清空会被模的 //!!!不能删 因为下次递推是直接把0--len都作为有用的做下次运算了 } } inline void polymul(ll *a,ll *b,ll *c,ll n,ll m)//计算多项式相乘 { ll len=1,w=0; while(len<=(n+m)) len<<=1,w++; cl(a,b,n,m,len,w);//这里的次数(w)不用加1因为两者都是同不改变的 ntt(tmp1,len,1);ntt(tmp2,len,1); for(int i=0;i<len;i++) c[i]=tmp1[i]*tmp2[i]%p; ntt(c,len,-1); } inline void work() //f=q*g+r ask q,r f,g下标从0--n,0--m { reverse(f,f+1+n);//对应各式的反转操作 reverse(g,g+1+m); polyinv(g,inv,n-m+1);//求逆 因为反转后使r能够被忽略所以是在模x^(n-m+1)意义下的, 所以只要算出g在模x^(n-m+1)下的逆元 polymul(f,inv,q,n+1,n-m+1);//计算q reverse(q,q+n-m+1);//将原式反转回来 reverse(f,f+n+1); reverse(g,g+m+1); polymul(g,q,r,m+1,n-m+1);//计算q*g的值 for(int i=0;i<m;i++) r[i]=(f[i]-r[i]+p)%p;//相减算出r } int main()//注意输入的多项式是 0--n 和0--m 不是长度为n,m; { n=read(),m=read(); //读入 for(int i=0;i<=n;i++) f[i]=read(); for(int i=0;i<=m;i++) g[i]=read(); work(); for(int i=0;i<=n-m;i++) printf("%lld ",q[i]);printf("\n");//输出 for(int i=0;i<m;i++) printf("%lld ",r[i]); return 0; }
# 干净的代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long #define C getchar()-48 inline ll read() { ll s=0,r=1; char c=C; for(;c<0||c>9;c=C) if(c==-3) r=-1; for(;c>=0&&c<=9;c=C) s=(s<<3)+(s<<1)+c; return s*r; } const ll p=998244353,G=3,N=400010; ll n,m; ll f[N],g[N],q[N],r[N],inv[N],rev[N],c[N]; ll tmp1[N],tmp2[N]; inline ll ksm(ll a,ll b) { ll ans=1; while(b) { if(b&1) ans=(ans*a)%p; a=(a*a)%p; b>>=1; } return ans; } inline void ntt(ll *a,ll n,ll kd) { for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]); for(int i=1;i<n;i<<=1) { ll gn=ksm(G,(p-1)/(i<<1)); for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)) { ll t1,t2,g=1; for(int k=0;k<i;k++,g=g*gn%p) { t1=a[j+k],t2=g*a[j+k+i]%p; a[j+k]=(t1+t2)%p,a[j+k+i]=(t1-t2+p)%p; } } } if(kd==1) return; ll ny=ksm(n,p-2); reverse(a+1,a+n); for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*ny%p; } inline void cl(ll *a,ll *b,ll n,ll m,ll len,ll w) { for(int i=0;i<len;i++) tmp1[i]=i<n?a[i]:0; for(int i=0;i<len;i++) tmp2[i]=i<m?b[i]:0; for(int i=0;i<len;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(w-1)); } inline void polyinv(ll *a,ll *b,ll ed) { b[0]=ksm(a[0],p-2); for(int k=1,j=0;k<=(ed<<1);k<<=1,j++) { ll len=k<<1; cl(a,b,k,k,len,j+1); ntt(tmp1,len,1);ntt(tmp2,len,1); for(int i=0;i<len;i++) b[i]=tmp2[i]*(2ll-tmp1[i]*tmp2[i]%p+p)%p; ntt(b,len,-1); for(int i=k;i<len;i++) b[i]=0; } } inline void polymul(ll *a,ll *b,ll *c,ll n,ll m) { ll len=1,w=0; while(len<=(n+m)) len<<=1,w++; cl(a,b,n,m,len,w); ntt(tmp1,len,1);ntt(tmp2,len,1); for(int i=0;i<len;i++) c[i]=tmp1[i]*tmp2[i]%p; ntt(c,len,-1); } inline void work() { reverse(f,f+1+n); reverse(g,g+1+m); polyinv(g,inv,n-m+1); polymul(f,inv,q,n+1,n-m+1); reverse(q,q+n-m+1); reverse(f,f+n+1); reverse(g,g+m+1); polymul(g,q,r,m+1,n-m+1); for(int i=0;i<m;i++) r[i]=(f[i]-r[i]+p)%p; } int main() { n=read(),m=read(); for(int i=0;i<=n;i++) f[i]=read(); for(int i=0;i<=m;i++) g[i]=read(); work(); for(int i=0;i<=n-m;i++) printf("%lld ",q[i]);printf("\n"); for(int i=0;i<m;i++) printf("%lld ",r[i]); return 0; }
